Ejercicio resuelto de Estudio de funciones · Matemáticas I

Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones y representa los resultados obtenidos:

a) $f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x$

b) $f(x)=(3-x{)}^2$

c) $f(x)={\displaystyle \frac{1-x^4}{x^2}}$

d) $f(x)={\displaystyle \frac{2x^3+x}{1-x}}$

Para hallar las ramas infinitas estudiamos, por un lado, el comportamiento cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ y $x\to -\mathrm{\infty }$ (ramas en el infinito) y, por otro, si hay valores donde la función se dispara a infinito (asíntotas verticales), que también son ramas infinitas.

$\mathbf{\text{a)}}f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x$

Es un polinomio (definido en todo $\mathbb{R}$), así que no tiene asíntotas verticales. El término dominante es ${\displaystyle \frac{x^3}{3}}$ (de coeficiente positivo):

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }({\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x)=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }({\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x)=-\mathrm{\infty }}$

Dos ramas infinitas: una hacia $+\mathrm{\infty }$ por la derecha y otra hacia $-\mathrm{\infty }$ por la izquierda.

$\mathbf{\text{b)}}f(x)=(3-x{)}^2$

Es un polinomio (una parábola). Desarrollando, $(3-x{)}^2=x^2-6x+9$, con término dominante $x^2$ (coeficiente positivo). No hay asíntotas verticales:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(3-x{)}^2=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(3-x{)}^2=+\mathrm{\infty }}$

Las dos ramas suben hacia $+\mathrm{\infty }$ (la parábola tiene los brazos hacia arriba).

$\mathbf{\text{c)}}f(x)={\displaystyle \frac{1-x^4}{x^2}}$

El dominio es $\mathbb{R}-\{0\}$. Dividiendo término a término:

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}-x^2$

$\bullet$ Ramas en el infinito (domina $-x^2$):

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }({\displaystyle \frac{1}{x^2}}-x^2)=-\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }({\displaystyle \frac{1}{x^2}}-x^2)=-\mathrm{\infty }}$

$\bullet$ Asíntota vertical en $x=0$ (anula el denominador). Como $x^2>0$ a ambos lados y $1-x^4\to 1>0$:

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1-x^4}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1-x^4}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }}$

Por tanto $x=0$ es asíntota vertical y la función sube hacia $+\mathrm{\infty }$ por los dos lados.



$\mathbf{\text{d)}}f(x)={\displaystyle \frac{2x^3+x}{1-x}}$

El dominio es $\mathbb{R}-\{1\}$.

$\bullet$ Ramas en el infinito. El grado del numerador supera en $2$ al del denominador, así que se comporta como ${\displaystyle \frac{2x^3}{-x}}=-2x^2$:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^3+x}{1-x}}={\displaystyle \frac{+\mathrm{\infty }}{-\mathrm{\infty }}}=-\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^3+x}{1-x}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}}=-\mathrm{\infty }}$

(El cociente de coeficientes principales ${\displaystyle \frac{2}{-1}}=-2$ confirma que ambos infinitos son negativos.)

$\bullet$ Asíntota vertical en $x=1$ (anula el denominador, y allí el numerador vale $2\cdot 1^3+1=3\mathrm{\ne }0$). Estudiamos los signos: cerca de $x=1$ el numerador es $\approx 3>0$, y el denominador $1-x$ es negativo si $x>1$ y positivo si $x<1$:

${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^3+x}{1-x}}={\displaystyle \frac{3}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^3+x}{1-x}}={\displaystyle \frac{3}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }}$

Por tanto $x=1$ es asíntota vertical: la función sube a $+\mathrm{\infty }$ por la izquierda y baja a $-\mathrm{\infty }$ por la derecha.