Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

Pregunta 4.1. El proveedor de una fábrica de móviles proporciona baterías cuya duración sigue una distribución normal con media $\mu =24$ horas y desviación típica $\sigma =3$ horas. A efectos de control de calidad, se considera que una batería es defectuosa si su duración es inferior a 21 horas.

a) (1 punto) Se elige un teléfono al azar de la línea de producción. Calcule la probabilidad de que su batería sea considerada defectuosa.

b) (1 punto) Un distribuidor recibe un lote de 10 teléfonos. Suponiendo independencia entre ellos, ¿cuál es la probabilidad de que en ese lote haya al menos 9 teléfonos con la batería no defectuosa?

Llamamos $X$ a la duración de una batería, medida en horas. Según el enunciado sigue una distribución normal:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(24;3)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{fono}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{bater}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{considerada}}\mathbf{\text{defectuosa.}}$

Una batería es defectuosa si dura menos de 21 horas, así que se pide $P(X<21)$. Para poder usar la tabla de la normal tipificamos la variable.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-24}{3}}\sim N(0,1)$

$P(X<21)=P(Z<{\displaystyle \frac{21-24}{3}})=P(Z<-1)$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que llevamos el suceso al semieje positivo usando la simetría de la campana respecto de la media.

$P(Z<-1)=1-P(Z\le 1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$

La probabilidad de que una batería tomada al azar sea defectuosa es $\mathrm{0,1587}$, es decir, un $\mathrm{15,87}\mathrm{\%}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{distribuidor}}\mathbf{\text{recibe}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{lote}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{tel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{fonos.}}\mathbf{\text{Suponiendo}}\mathbf{\text{independencia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ellos,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{lote}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{9}}\mathbf{\text{tel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{fonos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bater}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{defectuosa?}}$

Cada teléfono del lote es una prueba independiente con dos resultados posibles y la misma probabilidad de éxito, que es la complementaria del apartado anterior. Por tanto el número $Y$ de baterías no defectuosas sigue una binomial.

$p=1-\mathrm{0,1587}=\mathrm{0,8413}\Rightarrow Y\sim B(10;\mathrm{0,8413})$

$P(Y\ge 9)=P(Y=9)+P(Y=10)$

Aplicamos la función de probabilidad de la binomial a cada sumando.

$P(Y=9)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{9}\right){\mathrm{0,8413}}^9\cdot \mathrm{0,1587}=\mathrm{0,3351}$

$P(Y=10)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{10}\right){\mathrm{0,8413}}^{10}=\mathrm{0,1776}$

$P(Y\ge 9)=\mathrm{0,3351}+\mathrm{0,1776}=\mathrm{0,5127}$

La probabilidad de que el lote lleve al menos 9 baterías no defectuosas es $\mathrm{0,5127}$, algo más de la mitad.