Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

Pregunta 4.2. Sabiendo que $P(B)=\mathrm{0,4}$, $P(\overline{A\cup B})=\mathrm{0,4}$ y $P(B\mid A)=\mathrm{0,2}$, calcule las siguientes probabilidades:

a) (1 punto) $P(\bar{A})$ y $P(A\cap B)$.

b) (1 punto) $P((A\cap B)\mid (A\cup B))$.

Empezamos pasando el dato de la unión a la forma que se usa en las fórmulas, mediante el suceso contrario.

$P(A\cup B)=1-P(\overline{A\cup B})=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$



Las dos probabilidades pedidas dependen de $P(A)$, que aún no conocemos. Para obtenerla combinamos la definición de probabilidad condicionada con la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)=\mathrm{0,2}P(A)$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Sustituimos los valores conocidos y despejamos.

$\mathrm{0,6}=P(A)+\mathrm{0,4}-\mathrm{0,2}P(A)\Rightarrow \mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}P(A)$

$P(A)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,8}}}=\mathrm{0,25}$

$P(\bar{A})=1-P(A)=\mathrm{0,75}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,05}$

La probabilidad del suceso contrario de $A$ es $\mathrm{0,75}$ y la de la intersección, $\mathrm{0,05}$.





Aplicamos la definición de probabilidad condicionada y observamos que el suceso $A\cap B$ está contenido en $A\cup B$, de modo que la intersección de ambos es el propio $A\cap B$.

$P((A\cap B)\mid (A\cup B))={\displaystyle \frac{P((A\cap B)\cap (A\cup B))}{P(A\cup B)}}={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A\cup B)}}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,6}}}={\displaystyle \frac{1}{12}}=\mathrm{0,0833}$

Sabiendo que ha ocurrido al menos uno de los dos sucesos, la probabilidad de que hayan ocurrido los dos es $\frac{1}{12}\approx \mathrm{0,0833}$.