Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

Pregunta 5: Sentido estocástico (2 puntos)

Opción 5.1. En una fábrica hay tres máquinas, $A$, $B$ y $C$, que producen el mismo tipo de pieza. La máquina $A$ fabrica el 50 % de las piezas, y el 3 % de ellas son defectuosas. La máquina $B$ fabrica el 30 % de las piezas, y el 4 % de ellas son defectuosas. La máquina $C$ fabrica el 20 % de las piezas, y el 5 % de ellas son defectuosas. Se elige una pieza al azar de la producción total.

a) (0,75 ptos.) Calcule la probabilidad de que la pieza sea defectuosa.

b) (0,75 ptos.) Sabiendo que la pieza elegida es defectuosa, calcule la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina $B$.

c) (0,5 ptos.) Calcule la probabilidad de que la pieza no sea defectuosa sabiendo que procede de la máquina $C$.

Llamamos $A$, $B$ y $C$ a los sucesos "la pieza procede de esa máquina" y $D$ a "la pieza es defectuosa". Los tres primeros forman un sistema completo de sucesos, porque toda pieza sale de una sola máquina y sus probabilidades suman la unidad.

$P(A)=\mathrm{0,50},P(B)=\mathrm{0,30},P(C)=\mathrm{0,20}$

$P(D\mid A)=\mathrm{0,03},P(D\mid B)=\mathrm{0,04},P(D\mid C)=\mathrm{0,05}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{ptos.)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuosa.}}$

Al formar las máquinas un sistema completo, aplicamos el teorema de la probabilidad total: sumamos las tres ramas del árbol que acaban en $D$.

$P(D)=P(A)P(D\mid A)+P(B)P(D\mid B)+P(C)P(D\mid C)$

$P(D)=\mathrm{0,50}\cdot \mathrm{0,03}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,04}+\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,05}$

$P(D)=\mathrm{0,015}+\mathrm{0,012}+\mathrm{0,010}=\mathrm{0,037}$

La probabilidad de que una pieza tomada al azar sea defectuosa es $\mathrm{0,037}$, es decir, un $\mathrm{3,7}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{ptos.)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{defectuosa,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{fabricada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}$

Ahora conocemos el efecto y preguntamos por la causa, así que se trata de una probabilidad a posteriori y aplicamos el teorema de Bayes. En el numerador va la rama que pasa por $B$ y en el denominador la probabilidad total del apartado anterior.

$P(B\mid D)={\displaystyle \frac{P(B)P(D\mid B)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,04}}{\mathrm{0,037}}}$

$P(B\mid D)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,012}}{\mathrm{0,037}}}={\displaystyle \frac{12}{37}}\approx \mathrm{0,324}$

De cada cien piezas defectuosas, unas 32 proceden de la máquina $B$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{ptos.)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuosa}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{procede}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}$

Dentro de la máquina $C$, ser defectuosa y no serlo son sucesos contrarios, luego sus probabilidades condicionadas suman uno.

$P(\bar{D}\mid C)=1-P(D\mid C)=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}$

El $95\mathrm{\%}$ de las piezas fabricadas por la máquina $C$ no son defectuosas.