Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2024

P4. Dos de los isótopos radiactivos más utilizados en el tratamiento contra el cáncer son el ${}_{55}^{131}I$ y el ${}_{88}^{223}Ra$, que experimentan desintegración ${\beta }^{-}$ y $\alpha$ respectivamente.

a) Escribir la reacción de desintegración de ambos núcleos, especificando las partículas producidas y las características de los núcleos resultantes (número másico, $A$; número de protones, $Z$; y número de neutrones, $N$). (Si no cabe el nombre del núcleo resultante utilice el símbolo genérico $X$). (1 punto)

b) Inicialmente tenemos una muestra de $1mg$ de ${}^{131}I$ y después de 5 días quedan $\mathrm{0,66}mg$, determinar la vida media del núcleo ${}^{131}I$. (1 punto)

c) Calcular, en julios, la energía liberada en la desintegración $\alpha$ de un núcleo de ${}^{223}Ra$. (1 punto)

Datos: masas de los núcleos: $M({}_{86}^{219}Rn)=\mathrm{223,0185}u$, $M({}_2^{4}He)=\mathrm{4,0026}u$, $M({}_{88}^{223}Ra)=\mathrm{219,0095}u$; $1u\equiv 1uma=\mathrm{1,66}\cdot {10}^{-27}kg$.

En toda desintegración se conservan el número másico y el número atómico.

En la emisión ${\beta }^{-}$ un neutrón del núcleo se transforma en protón, con emisión de un electrón y un antineutrino, según $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$. El número atómico aumenta en una unidad y el másico no cambia:

${}_{53}^{131}\text{I}⟶{}_{54}^{131}\text{Xe}+{}_{-1}^{0}e+{\bar{\nu }}_e$

El núcleo resultante es el xenón, con $A=131$, $Z=54$ y $N=131-54=77$ neutrones.

En la emisión $\alpha$ se expulsa un núcleo de helio, de modo que el número másico disminuye en cuatro unidades y el atómico en dos:

${}_{88}^{223}\text{Ra}⟶{}_{86}^{219}\text{Rn}+{}_2^4\text{He}$

El núcleo resultante es el radón, con $A=219$, $Z=86$ y $N=219-86=133$ neutrones.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Inicialmente}}\mathbf{\text{tenemos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mtext> mg</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><msup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">131</mn></msup><mtext>I</mtext></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{quedan}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">0,66</mn><mtext> mg</mtext></mrow>}\mathbf{\text{;}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vida}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Como el número de núcleos es proporcional a la masa, podemos escribir la ley de desintegración radiactiva directamente con masas:

$m=m_0{e}^{-\lambda t}$

Despejamos la constante de desintegración:

$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{t}}\ln {\displaystyle \frac{m_0}{m}}$





Sustituimos los datos del enunciado:

$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{5}}\ln {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,66}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4155}}{5}}=\mathrm{0,0831}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

La vida media es la inversa de la constante de desintegración:

$\tau ={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,0831}}}=\mathrm{12,0}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

La vida media del ${}^{131}\text{I}$ es de $\mathrm{12,0}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$, tiempo tras el cual la muestra se reduce a $m_0\mathrm{/}e$. Conviene no confundirla con el periodo de semidesintegración, que vale $T_{1\mathrm{/}2}=\tau \ln 2=\mathrm{8,34}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcular,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{julios,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{liberada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleo}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><msup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">223</mn></msup><mtext>Ra</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La energía liberada procede del defecto de masa entre el núcleo inicial y los productos. Restamos las masas de los productos a la del radio, que es el más pesado de los tres núcleos que intervienen:

$\mathrm{\Delta }m=M({}^{223}\text{Ra})-[M({}^{219}\text{Rn})+M({}^4\text{He})]$

$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{223,0185}-(\mathrm{219,0095}+\mathrm{4,0026})=\mathrm{0,0064}\text{ u}$

Lo pasamos a kilogramos:

$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{0,0064}\cdot \mathrm{1,66}\cdot {10}^{-27}=\mathrm{1,06}\cdot {10}^{-29}\text{ kg}$

Aplicamos por último la equivalencia masa-energía de Einstein:

$E=\mathrm{\Delta }m{c}^2=\mathrm{1,06}\cdot {10}^{-29}\cdot (3\cdot {10}^8{)}^2=\mathrm{9,56}\cdot {10}^{-13}\text{ J}$

Cada desintegración libera $\mathrm{9,56}\cdot {10}^{-13}\text{ J}$, es decir, unos $\mathrm{5,97}\text{ MeV}$. Al ser positiva, la desintegración es espontánea, como corresponde a un núcleo radiactivo.