Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Región de Murcia · 2021

C1. Obtener por análisis dimensional los exponentes numéricos $x$ e $y$ en la expresión física $a={\displaystyle \frac{\rho }{S}}{S}^x{v}^y$, donde $a$ es una aceleración, $m$ masa, $S$ área, $\rho$ densidad y $v$ una velocidad. (1 punto)

El análisis dimensional exige que los dos miembros de una igualdad física tengan las mismas dimensiones. Escribimos cada magnitud en la base masa, longitud y tiempo:

$[a]=L{T}^{-2}[m]=M[\rho ]=M{L}^{-3}[S]=L^2[v]=L{T}^{-1}$

El cociente entre la densidad y la masa aporta solo longitud, pues la masa se cancela:

$\left[{\displaystyle \frac{\rho }{m}}\right]={\displaystyle \frac{M{L}^{-3}}{M}}=L^{-3}$

Sustituimos en la expresión propuesta y agrupamos las potencias de cada dimensión:

$L{T}^{-2}=L^{-3}(L^2{)}^x(L{T}^{-1}{)}^y=L^{-3+2x+y}{T}^{-y}$

Igualando los exponentes de cada dimensión fundamental obtenemos el sistema:

$\{\begin{array}{l}T:-2=-y\\ L:1=-3+2x+y\end{array}$

De la ecuación del tiempo resulta directamente $y=2$, y sustituyendo en la de la longitud:

$1=-3+2x+2\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1$

La ecuación de la masa se satisface automáticamente, lo que confirma que la expresión es dimensionalmente homogénea. Los exponentes buscados son, por tanto, $x=1$ e $y=2$.

Comprobamos el resultado sustituyéndolos:

$L^{-3}\cdot L^2\cdot L^2{T}^{-2}=L{T}^{-2}$

que coincide exactamente con las dimensiones de una aceleración.