Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Región de Murcia · 2022

P2. (3 puntos) Las curvas de la gráfica representan el nivel mínimo detectable (umbral de audición) y el nivel máximo soportable (umbral de dolor) para el oído humano en función de la frecuencia del sonido. Consideremos dos altavoces, A y B, emitiendo sonido desde un mismo punto. El altavoz A emite sonido de $1000\text{ Hz}$ con una potencia de $2\text{ W}$, y el altavoz B, emite sonido de $100\text{ Hz}$.

a) Determinar la longitud de onda mínima y el periodo máximo del sonido emitido. (1 punto)

b) Calcular la distancia mínima a la que podríamos colocarnos del altavoz A, para no superar el nivel de dolor, si solo emitiera el altavoz A. (1 punto)

c) Calcular con qué potencia debe emitir el altavoz B para que la distancia a la que se deja de escuchar dicho altavoz sea la misma que a la que se deja de escuchar el A. (1 punto)

Dato: $I_0={10}^{-12}{\text{W/m}}^2$.

Recordamos la relación entre la intensidad sonora y el nivel de intensidad, que es la magnitud del eje vertical de la gráfica del enunciado:

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}⟺I=I_0\cdot {10}^{\beta \mathrm{/}10}$

y la ley que rige un foco puntual, cuya potencia se reparte sobre una superficie esférica:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}$

Tomamos para el sonido en el aire $v=340\text{ m/s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{emitido.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Como la velocidad del sonido es la misma para los dos altavoces, la longitud de onda es menor cuanto mayor es la frecuencia y el periodo es mayor cuanto menor es la frecuencia.

La longitud de onda mínima corresponde por tanto al altavoz A, de $1000\text{ Hz}$:

${\lambda }_{\min }={\displaystyle \frac{v}{f_{\max }}}={\displaystyle \frac{340}{1000}}=\mathrm{0,34}\text{ m}$

y el periodo máximo, al altavoz B, de $100\text{ Hz}$:

$T_{\max }={\displaystyle \frac{1}{f_{\min }}}={\displaystyle \frac{1}{100}}={10}^{-2}\text{ s}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{amos}}\mathbf{\text{colocarnos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{altavoz}}\mathbf{\text{A,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{superar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dolor,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{emitiera}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{altavoz}}\mathbf{\text{A.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










En la gráfica, el umbral de dolor a $1000\text{ Hz}$ vale $120\text{ dB}$, al que corresponde la intensidad:

$I={10}^{-12}\cdot {10}^{12}=1{\text{W/m}}^2$





Como al acercarnos al foco la intensidad crece, la distancia mínima es aquella en la que justo se alcanza ese valor. Despejamos el radio de la ley del foco puntual:

$r=\sqrt{{\displaystyle \frac{P}{4\pi I}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{4\pi \cdot 1}}}=\mathrm{0,40}\text{ m}$

No debemos acercarnos a menos de $\mathrm{0,40}\text{ m}$ del altavoz A: a distancias menores se superaría el umbral de dolor.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{emitir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{altavoz}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escuchar}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{altavoz}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escuchar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{A.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Un sonido deja de oírse cuando su intensidad cae hasta el umbral de audición, y ese umbral depende mucho de la frecuencia. De la gráfica leemos, para cada altavoz:

$A(1000\text{ Hz}):{\beta }_A=0\text{ dB}\Rightarrow I_A={10}^{-12}{\text{W/m}}^2$

$B(100\text{ Hz}):{\beta }_B=40\text{ dB}\Rightarrow I_B={10}^{-8}{\text{W/m}}^2$

Calculamos la distancia a la que deja de oírse el altavoz A:

$r=\sqrt{{\displaystyle \frac{P_A}{4\pi I_A}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{4\pi \cdot {10}^{-12}}}}=\mathrm{3,99}\cdot {10}^5\text{ m}$

El altavoz B debe dejar de oírse a esa misma distancia. Como el factor geométrico es común a los dos, basta dividir las dos expresiones de la intensidad y se cancela:

${\displaystyle \frac{P_B}{P_A}}={\displaystyle \frac{I_B}{I_A}}={\displaystyle \frac{{10}^{-8}}{{10}^{-12}}}={10}^4$

$P_B={10}^4\cdot 2=2\cdot {10}^4\text{ W}$

El altavoz B necesita $20\text{ kW}$, diez mil veces más potencia que el A. La razón es que a $100\text{ Hz}$ el oído es mucho menos sensible y exige una intensidad diez mil veces mayor para percibir el sonido.