Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Región de Murcia · 2021

P3. La figura representa una fotografía, tomada en el instante $t=3\text{ s}$, de una onda transversal que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ con velocidad $2\text{ cm/s}$.



a) Determinar su amplitud, frecuencia y periodo. (1 punto)

b) Escribir la ecuación de la onda, $y(x,t)$. (1 punto)

c) Calcular la aceleración máxima. Obtener también la velocidad de vibración de un punto situado en $x=1\text{ cm}$. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{amplitud,}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{periodo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

De la fotografía leemos directamente la amplitud, que es el desplazamiento máximo, y la longitud de onda, que es la distancia entre dos crestas consecutivas:

$A=2\text{ cm}=\mathrm{0,02}\text{ m}\lambda =4\text{ cm}=\mathrm{0,04}\text{ m}$

Con la velocidad de propagación que da el enunciado, $v=\mathrm{0,02}\text{ m/s}$, la relación fundamental de las ondas nos da la frecuencia:

$f={\displaystyle \frac{v}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}}{\mathrm{0,04}}}=\mathrm{0,5}\text{ Hz}$

y el periodo es su inverso:

$T={\displaystyle \frac{1}{f}}=2\text{ s}$



Como la onda viaja en el sentido positivo del eje $X$, su forma general es $y(x,t)=A\cos (kx-\omega t+\phi )$. Calculamos las constantes:

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=\pi \text{ rad/s}k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}=50\pi \text{ rad/m}$

Falta la fase inicial. La fotografía está tomada en $t=3\text{ s}$ y en ese instante hay una cresta en $x=0$, de modo que $y(x,3)=A\cos (kx)$. Imponiendo esa condición:

$\phi -3\omega =-2\pi n\Rightarrow \phi =3\pi -2\pi =\pi$

La ecuación de la onda, en unidades del Sistema Internacional, es por tanto:

$y(x,t)=\mathrm{0,02}\cos (50\pi x-\pi t+\pi )$

Comprobamos: en $t=3\text{ s}$ el argumento vale $50\pi x-2\pi$, cuyo coseno reproduce exactamente la fotografía, con cresta en el origen y valles en $x=2$, $6$ y $10\text{ cm}$.












La aceleración transversal es la derivada segunda de la elongación respecto del tiempo, $a_y=-{\omega }^{2}y$, y alcanza su máximo en los extremos de la oscilación:

$a_{\max }={\omega }^{2}A={\pi }^2\cdot \mathrm{0,02}=\mathrm{0,20}{\text{m/s}}^2$





La velocidad de vibración es la derivada primera, $v_y=A\omega \text{sen}(kx-\omega t+\phi )$, con valor máximo $A\omega =\mathrm{0,0628}\text{ m/s}$.

Para el punto $x=1\text{ cm}$ en el instante de la fotografía tenemos $kx=\pi \mathrm{/}2$, y sustituyendo:

$v_y=\mathrm{0,0628}\text{sen}\text{\hspace{0.17em}⁣}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-3\pi +\pi )=\mathrm{0,0628}\text{ m/s}$

La aceleración máxima de cualquier punto de la cuerda es $\mathrm{0,20}{\text{m/s}}^2$ y el punto situado en $x=1\text{ cm}$ vibra a $\mathrm{6,3}\text{ cm/s}$. No es casualidad que su rapidez coincida con la máxima: la gráfica muestra que en ese instante ese punto pasa justo por la posición de equilibrio.