Ejercicio resuelto de Problemas de Gauss · Matemáticas I

12) Un vehículo todo terreno sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h, y en llano lleva una velocidad de 80 km/h. Para ir de una ciudad a otra que dista de ella 201 km emplea 2,8 horas y para volver 2,6 horas. ¿Cuántos kilómetros de camino llano hay entre ambas ciudades?

Sea:

$x=$ km de subida;
$y=$ km de bajada;
$z=$ km de llano.

Planteamos el sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=201\\ {\displaystyle \frac{x}{54}}+{\displaystyle \frac{y}{90}}+{\displaystyle \frac{z}{80}}=2.8\\ {\displaystyle \frac{x}{90}}+{\displaystyle \frac{y}{54}}+{\displaystyle \frac{z}{80}}=2.6\end{array}$

Quitamos denominadores multiplicando por $2160$ las dos últimas ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=201\\ 40x+24y+27z=6048\\ 24x+40y+27z=5616\end{array}$

Matriz ampliada:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 201\\ 40& 24& 27& 6048\\ 24& 40& 27& 5616\end{array}\right)$

Aplicamos Gauss:





Pasamos de nuevo a sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=201\\ -16y-13z=-1992\\ -10z=-1200\end{array}$

Resolvemos de abajo hacia arriba:

$-10z=-1200\Rightarrow z=120$

$-16y-13z=-1992\Rightarrow -16y-1560=-1992\Rightarrow y=27$

$x+y+z=201\Rightarrow x+27+120=201\Rightarrow x=54$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}x=54\\ y=27\\ z=120\end{array}$

Hay 120 km de camino llano entre ambas ciudades.