Ejercicio resuelto de Problemas de Gauss · Matemáticas I

11) Una papelería tiene un total de 270 bolígrafos de tres tipos x, y, z. Del tipo x tienen 30 unidades menos que de la totalidad de y más z, y del tipo z tienen el 35% de la suma de x más y. ¿Cuántos bolígrafos de cada tipo hay en la librería?

Sea:

$x=$ número de bolígrafos del tipo x;
$y=$ número de bolígrafos del tipo y;
$z=$ número de bolígrafos del tipo z.

Planteamos el sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=270\\ x=y+z-30\\ z=0.35(x+y)\end{array}$

Ordenamos las ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=270\\ x-y-z=-30\\ 7x+7y-20z=0\end{array}$

Matriz ampliada:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 270\\ 1& -1& -1& -30\\ 7& 7& -20& 0\end{array}\right)$

Aplicamos Gauss:



Pasamos de nuevo a sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=270\\ -2y-2z=-300\\ -27z=-1890\end{array}$

Resolvemos de abajo hacia arriba:

$-27z=-1890\Rightarrow z=70$

$-2y-2z=-300\Rightarrow -2y-140=-300\Rightarrow y=80$

$x+y+z=270\Rightarrow x+80+70=270\Rightarrow x=120$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}x=120\\ y=80\\ z=70\end{array}$

Hay 120 bolígrafos del tipo x, 80 del tipo y y 70 del tipo z.