Ejercicio resuelto de Problemas de Gauss · Matemáticas I

9) Averigua la edad de tres hermanos, sabiendo que el triple de la edad del primero menos el doble de la edad del segundo más la del tercero hacen un total de 22 años; la edad del primero menos la del segundo más el doble de la del tercero son 8 años; y el doble de la del primero más la del segundo menos la del tercero son 20 años.

Sea:

$x=$ edad del primer hermano;
$y=$ edad del segundo hermano;
$z=$ edad del tercer hermano.

Planteamos el sistema:

$\{\begin{array}{l}3x-2y+z=22\\ x-y+2z=8\\ 2x+y-z=20\end{array}$

Matriz ampliada:

$\left(\begin{array}{cccc}3& -2& 1& 22\\ 1& -1& 2& 8\\ 2& 1& -1& 20\end{array}\right)$

Intercambiamos filas para tener un 1 como pivote:

$\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 8\\ 3& -2& 1& 22\\ 2& 1& -1& 20\end{array}\right)$

Aplicamos Gauss:





Pasamos de nuevo a sistema:

$\{\begin{array}{l}x-y+2z=8\\ y-5z=-2\\ 10z=10\end{array}$

Resolvemos de abajo hacia arriba:

$10z=10\Rightarrow z=1$

$y-5z=-2\Rightarrow y-5=-2\Rightarrow y=3$

$x-y+2z=8\Rightarrow x-3+2=8\Rightarrow x=9$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}x=9\\ y=3\\ z=1\end{array}$

El primer hermano tiene 9 años, el segundo tiene 3 años y el tercero tiene 1 año.