Ejercicio resuelto de Problemas de Gauss · Matemáticas I

10) La distancia de tres playas (A, B, C) al lugar de veraneo de una familia es tal que el doble de la distancia de A es el triple de la distancia a B. La suma de las distancias A, B y C es de 90.000 m, y el doble de la distancia a B más el triple de la distancia a C menos la distancia a A es igual a 130.000 m. ¿Cuál es la distancia de cada playa?

Sea:

$x=$ distancia a la playa A;
$y=$ distancia a la playa B;
$z=$ distancia a la playa C.

Planteamos el sistema:

$\{\begin{array}{l}2x=3y\\ x+y+z=90000\\ 2y+3z-x=130000\end{array}$

Ordenamos las ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}2x-3y=0\\ x+y+z=90000\\ -x+2y+3z=130000\end{array}$

Matriz ampliada:

$\left(\begin{array}{cccc}2& -3& 0& 0\\ 1& 1& 1& 90000\\ -1& 2& 3& 130000\end{array}\right)$

Intercambiamos filas para tener un 1 como pivote:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 90000\\ 2& -3& 0& 0\\ -1& 2& 3& 130000\end{array}\right)$

Aplicamos Gauss:





Pasamos de nuevo a sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=90000\\ -5y-2z=-180000\\ 14z=560000\end{array}$

Resolvemos de abajo hacia arriba:

$14z=560000\Rightarrow z=40000$

$-5y-2z=-180000\Rightarrow -5y-80000=-180000\Rightarrow y=20000$

$x+y+z=90000\Rightarrow x+20000+40000=90000\Rightarrow x=30000$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}x=30000\\ y=20000\\ z=40000\end{array}$

La playa A está a 30 km, la playa B a 20 km y la playa C a 40 km.