Ejercicio resuelto de Problemas de Gauss · Matemáticas I

4) Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación de sus billetes asciende a 2 142 euros. Calcular cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9 euros; cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% del billete es el doble del número de viajeros que pagan el billete entero.

Sea:

$x=$ número de viajeros que pagan el billete entero;
$y=$ número de viajeros que pagan el 20%;
$z=$ número de viajeros que pagan el 50%.

El billete entero vale 9 €, por tanto:

$20\mathrm{\%}\text{ de }9=0.2\cdot 9=1.8$

$50\mathrm{\%}\text{ de }9=0.5\cdot 9=4.5$

Planteamos el sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=500\\ 9x+1.8y+4.5z=2142\\ y=2x\end{array}$

Para evitar decimales, multiplicamos la segunda ecuación por 10:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=500\\ 90x+18y+45z=21420\\ -2x+y=0\end{array}$

Matriz ampliada:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 500\\ 90& 18& 45& 21420\\ -2& 1& 0& 0\end{array}\right)$

Aplicamos Gauss:





Pasamos de nuevo a sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=500\\ 3z=420\\ 3y+2z=1000\end{array}$

Resolvemos de abajo hacia arriba:

$3z=420\Rightarrow z=140$

$3y+2z=1000\Rightarrow 3y+280=1000\Rightarrow y=240$

$x+y+z=500\Rightarrow x+240+140=500\Rightarrow x=120$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}x=120\\ y=240\\ z=140\end{array}$

Han pagado el billete entero 120 viajeros, el 20% del billete 240 viajeros y el 50% del billete 140 viajeros.