Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.2 Un decorador desea pintar una pared rectangular de 12 metros de largo por 3 de alto. Para ello supone que la esquina inferior izquierda de la pared corresponde al origen de coordenadas de un plano y pinta en la pared la curva de ecuación

$f(x)=\cos ({\displaystyle \frac{\pi x}{9}})+2$.

A continuación, el decorador colorea en rojo la parte de la pared que queda por encima de la curva y en verde la que queda por debajo. Se pide:

4.2.1 Dibujar la parte de la curva anterior que corresponde a la pared, detallando los cortes con los ejes, los extremos absolutos, y la monotonía de la función en el intervalo $[0,12]$. (1.25 puntos)
4.2.2 Calcular el área de la pared que tiene color verde y la que tiene color rojo. (1 punto)
4.2.3 La parte verde se pinta usando botes de pintura capaces de cubrir 3 metros cuadrados cada uno. ¿Cuál es el mínimo número de botes que vamos a necesitar para pintar la parte verde? (0.25 puntos)

$\mathbf{\text{4.2.1}}\mathbf{\text{Dibujar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pared,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{cortes,}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La pared corresponde al rectángulo:

$0\le x\le 12,0\le y\le 3$

La curva es:

$f(x)=\cos \left(\frac{\pi x}{9}\right)+2$

Corte con el eje $Y$:

$f(0)=\cos (0)+2=3\Rightarrow (0,3)$

Cortes con el eje $X$:

$\cos \left(\frac{\pi x}{9}\right)+2=0\Rightarrow \cos \left(\frac{\pi x}{9}\right)=-2$

Como esto es imposible, no corta al eje $X$.

Para estudiar la monotonía usamos:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{\pi }{9}\sin \left(\frac{\pi x}{9}\right)$

En $[0,9]$:

$\sin \left(\frac{\pi x}{9}\right)\ge 0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)\le 0$

Por tanto, decrece en $[0,9]$.

En $[9,12]$:

$\sin \left(\frac{\pi x}{9}\right)\le 0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$

Por tanto, crece en $[9,12]$.

Calculamos los puntos importantes:

$f(0)=3$

$f(9)=\cos (\pi )+2=1$

$f(12)=\cos \left(\frac{4\pi }{3}\right)+2=\frac{3}{2}$

Por tanto:

$\text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo absoluto en }(0,3)$

$\text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo absoluto en }(9,1)$

$\mathbf{\text{4.2.2}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{verde}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{roja.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El área verde es el área bajo la curva:

$A_V={\int }_0^{12}f(x)dx$

Sustituyendo:

$A_V={\int }_0^{12}(\cos \left(\frac{\pi x}{9}\right)+2)dx$

Usamos:

$\int \cos (kx)dx=\frac{1}{k}\sin (kx)$

Entonces:

$A_V={[\frac{9}{\pi }\sin \left(\frac{\pi x}{9}\right)+2x]}_0^{12}{A}_V=\frac{9}{\pi }\sin \left(\frac{4\pi }{3}\right)+24=24-\frac{9\sqrt{3}}{2\pi }\approx \mathrm{21,52}{\text{m}}^2$

El área total de la pared es:

$A_T=12\cdot 3=36{\text{m}}^2$

Por tanto, el área roja es:

$A_R=A_T-A_V=36-(24-\frac{9\sqrt{3}}{2\pi })=12+\frac{9\sqrt{3}}{2\pi }\approx \mathrm{14,48}{\text{m}}^2$

$\mathbf{\text{4.2.3}}\mathbf{\text{N}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{botes}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{pintar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{verde.}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Cada bote cubre $3{\text{m}}^2$, luego:

$\frac{A_V}{3}=\frac{\mathrm{21,52}}{3}=\mathrm{7,17}$

Como no se pueden comprar botes fraccionados, necesitamos:

$8\text{ botes}$