Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2026

Apartado 4 - Opción 4A

El tecnecio-99m es el radioisótopo más utilizado en medicina nuclear para diagnóstico por imagen y tiene un periodo de semidesintegración $T=\mathrm{6,0}\text{ h}$. Para obtener la resolución deseada, la actividad de la sustancia inyectada, en el momento de realizar la prueba, debe ser de $400\text{ MBq}$. Entre la producción del radiofármaco y la realización de la prueba transcurren $\mathrm{5,0}\text{ h}$. Calcula:

a) La constante de desintegración y la actividad que debe tener el radioisótopo en el momento de su producción. (1 punto)

b) El número de núcleos y la masa de dicho isótopo que es necesario producir. (1 punto)

Datos: número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}{\text{mol}}^{-1}$; masa molar del isótopo, $m_M=99\text{ g/mol}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radiois}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El periodo de semidesintegración y la constante de desintegración están relacionados por:

$T_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$

Por tanto:

$\lambda =\frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}$

Como:

$T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{6,0}\text{ h}=\mathrm{6,0}\cdot 3600=21600\text{ s}$

Entonces:

$\lambda =\frac{\ln 2}{21600}=\mathrm{3,21}\cdot {10}^{-5}{\text{s}}^{-1}$

La actividad disminuye con el tiempo según:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Queremos que después de $\mathrm{5,0}\text{ h}$ la actividad sea:

$A=400\text{ MBq}=400\cdot {10}^6\text{ Bq}$

Por tanto:

$A_0=A{e}^{\lambda t}$

Como:

$t=\mathrm{5,0}\text{ h}=18000\text{ s}$

Sustituyendo:

$A_0=400\cdot {10}^6\cdot e^{\mathrm{3,21}\cdot {10}^{-5}\cdot 18000}=\mathrm{7,13}\cdot {10}^8\text{ Bq}=713\text{ MBq}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{producir.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La actividad está relacionada con el número de núcleos mediante:

$A=\lambda N$

En el momento de la producción:

$A_0=\lambda N_0$

Por tanto:

$N_0=\frac{A_0}{\lambda }$

$N_0=\frac{\mathrm{7,13}\cdot {10}^8}{\mathrm{3,21}\cdot {10}^{-5}}=\mathrm{2,22}\cdot {10}^{13}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Para calcular la masa, usamos:

$n=\frac{N_0}{N_A}$

$n=\frac{\mathrm{2,22}\cdot {10}^{13}}{\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}}=\mathrm{3,69}\cdot {10}^{-11}\text{ mol}$

Y como:

$m=n\cdot m_M$

$m=\mathrm{3,69}\cdot {10}^{-11}\cdot 99=\mathrm{3,65}\cdot {10}^{-9}\text{ g}$

Por tanto, será necesario producir:

$N_0=\mathrm{2,22}\cdot {10}^{13}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

$m=\mathrm{3,65}\cdot {10}^{-9}\text{ g}$