Ejercicio resuelto de Matemáticas I

La Rioja, julio 19, propuesta A

(2 puntos) El peso medio según la OMS de un niño de 5 años sigue una distribución normal de media $18,5\text{kg}$ y desviación típica $2,25\text{kg}$. Si se elige un niño al azar, halla el porcentaje de niños:

(I) cuyo peso es superior a $23\text{kg}$.

(II) cuyo peso está entre $15$ y $23\text{kg}$.

Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen.

La distribución es normal: $X\sim N(18,5,2,25)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-18,5}{2,25}}$

I) Queremos calcular el porcentaje de niños cuyo peso es superior a 23 kg:

$P(X>23)=P(Z>{\displaystyle \frac{23-18,5}{2,25}})$

$P(X>23)=P(Z>2)$

$P(Z>2)=1-P(Z<2)=1-0,9772=0,0228$

Por tanto, solo el $2,28\mathrm{\%}$ de los niños de 5 años pesa más de 23 kg.

II) Queremos calcular el porcentaje de niños cuyo peso está entre 15 y 23 kg:

$P(15<X<23)=P({\displaystyle \frac{15-18,5}{2,25}}<Z<{\displaystyle \frac{23-18,5}{2,25}})$

$P(15<X<23)=P(-1,56<Z<2)$

$P(-1,56<Z<2)=P(Z<2)-P(Z<-1,56)$

$P(-1,56<Z<2)=P(Z<2)-(1-P(Z<1,56))$

$P(-1,56<Z<2)=0,9772-(1-0,9406)=0,9178$

Por tanto, el $91,78\mathrm{\%}$ de los niños pesa entre 15 y 23 kg.