Ejercicio resuelto de Matemáticas I

Galicia, junio 19 opción A

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) El $40\mathrm{\%}$ de los habitantes de una cierta comarca tienen camelias, el $35\mathrm{\%}$ tienen rosas y el $21\mathrm{\%}$ tienen camelias y rosas. Si se elige al azar a un habitante de esa comarca, calcular las cinco probabilidades siguientes: de que tenga camelias o rosas; de que no tenga ni camelias ni rosas; de que tenga camelias, sabiendo que tiene rosas; de que tenga rosas, sabiendo que tiene camelias; y de que solamente tenga rosas o solamente tenga camelias.

b) Si en un auditorio hay 50 personas, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 hayan nacido en el mes de enero?

a) Sean $C$ y $R$ los sucesos “tener camelias” y “tener rosas”, respectivamente.

Se sabe que:

$P(C)=0,40$

$P(R)=0,35$

$P(C\cap R)=0,21$

Probabilidad de que tenga camelias o rosas:

$P(C\cup R)=P(C)+P(R)-P(C\cap R)=0,40+0,35-0,21=0,54$

Probabilidad de que no tenga ni camelias ni rosas:

$P(\overline{C\cup R})=1-P(C\cup R)=1-0,54=0,46$

Probabilidad de que tenga camelias sabiendo que tiene rosas:

$P(C\mathrm{/}R)={\displaystyle \frac{P(C\cap R)}{P(R)}}={\displaystyle \frac{0,21}{0,35}}=0,6$

Probabilidad de que tenga rosas sabiendo que tiene camelias:

$P(R\mathrm{/}C)={\displaystyle \frac{P(C\cap R)}{P(C)}}={\displaystyle \frac{0,21}{0,40}}=0,525$

Probabilidad de que solo tenga camelias o solo tenga rosas:

$P(C-R)+P(R-C)=P(C\cup R)-P(C\cap R)=0,54-0,21=0,33$

b) La probabilidad de que una persona nazca en enero es:

$P(E)=p={\displaystyle \frac{31}{365}}$

La probabilidad de que no nazca en enero es:

$P(\bar{E})=q={\displaystyle \frac{334}{365}}$

La variable $X$ mide el número de personas nacidas en enero entre las 50 personas.

Por tanto:

$X\sim B(50,{\displaystyle \frac{31}{365}})$

Queremos calcular la probabilidad de que, al menos, 2 personas hayan nacido en enero:

$P(X\ge 2)=1-(P(X=0)+P(X=1))$

$P(X\ge 2)=1-[\left(\genfrac{}{}{0px}{}{50}{0}\right){\left({\displaystyle \frac{31}{365}}\right)}^0{\left({\displaystyle \frac{334}{365}}\right)}^{50}+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{50}{1}\right)\left({\displaystyle \frac{31}{365}}\right){\left({\displaystyle \frac{334}{365}}\right)}^{49}]$

$P(X\ge 2)=1-0,0666=0,9333$

Como estos cálculos son complicados, también se puede aproximar la binomial mediante una normal.

La media es:

$\mu =n\cdot p=50\cdot {\displaystyle \frac{31}{365}}=4,25$

La desviación típica es:

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot q}=\sqrt{50\cdot {\displaystyle \frac{31}{365}}\cdot {\displaystyle \frac{334}{365}}}=\sqrt{3,886}=1,97$

Por tanto:

$X\sim N(4,25,1,97)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-4,25}{1,97}}$

Aplicando corrección de continuidad:

$P(X\ge 2)=P(X\ge 1,5)$

$P(X\ge 1,5)=P(Z\ge {\displaystyle \frac{1,5-4,25}{1,97}})=P(Z\ge -1,4)$

Por simetría:

$P(Z\ge -1,4)=P(Z<1,4)=0,9192$