Ejercicio resuelto de Matemáticas I

Castilla-La Mancha, junio 19, opción B

a) Una alarma de seguridad tiene instalados dos sensores. Ante una emergencia los sensores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer sensor es de $0,98$ y de que se active el segundo es de $0,96$. Calcula razonadamente la probabilidad de que ante una emergencia:

a1) Se active al menos uno de los dos sensores. (0,75 puntos)
a2) Se active solo uno de los sensores. (0,5 puntos)

b) El tiempo, en horas, empleado en realizar cierta intervención quirúrgica sigue una distribución normal $N(10,2)$. Calcula razonadamente el porcentaje de estas intervenciones que se pueden realizar:

b1) Entre $6,5$ y $13$ horas. (0,75 puntos)
b2) En menos de siete horas. (0,5 puntos)

a) Sean los sucesos:

$A=$ se activa el primer sensor.

$B=$ se activa el segundo sensor.

Se sabe que:

$P(A)=0,98$

$P(B)=0,96$

Como los sensores son independientes:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0,98\cdot 0,96=0,9408$

a1) Que se active al menos uno de los sensores es el suceso $A\cup B$.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(A\cup B)=0,98+0,96-0,9408=0,9992$

a2) Que se active solo uno de los sensores significa que se active alguno de los dos, pero no ambos a la vez.

$P(\text{solo uno})=P(A\cup B)-P(A\cap B)$

$P(\text{solo uno})=0,9992-0,9408=0,0584$

b) El tiempo empleado en realizar una intervención sigue una distribución normal:

$X\sim N(10,2)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-10}{2}}$

b1) Queremos calcular la probabilidad de que una intervención dure entre 6,5 y 13 horas:

$P(6,5<X<13)=P({\displaystyle \frac{6,5-10}{2}}<Z<{\displaystyle \frac{13-10}{2}})$

$P(6,5<X<13)=P(-1,75<Z<1,5)$

$P(-1,75<Z<1,5)=P(Z<1,5)-P(Z<-1,75)$

$P(-1,75<Z<1,5)=0,9332-(1-0,9599)=0,9332-0,0401=0,8931$

Por tanto, el $89,31\mathrm{\%}$ de las intervenciones durará entre 6,5 y 13 horas.

b2) Queremos calcular la probabilidad de que una intervención dure menos de 7 horas:

$P(X<7)=P(Z<{\displaystyle \frac{7-10}{2}})$

$P(X<7)=P(Z<-1,5)$

$P(Z<-1,5)=1-P(Z<1,5)=1-0,9332=0,0668$

Por tanto, el $6,68\mathrm{\%}$ de las intervenciones durará menos de 7 horas.