Ejercicio resuelto de Matemáticas I

Castilla y León, julio 19, opción A

La temperatura del cuerpo humano sigue una distribución normal de media ${37}^{\circ }\text{C}$ y desviación típica $0,5^{\circ }\text{C}$.

a) Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona esté comprendida entre ${36}^{\circ }\text{C}$ y ${38}^{\circ }\text{C}$. (1 punto)

b) Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona sea menor que $36,5^{\circ }\text{C}$. (1 punto)

Se trata de una distribución normal:

$X\sim N(37,0,5)$

Tipificamos usando el cambio:

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-37}{0,5}}$

a) Queremos calcular la probabilidad de que la temperatura esté entre 36ºC y 38ºC:

$P(36<X<38)=P({\displaystyle \frac{36-37}{0,5}}<Z<{\displaystyle \frac{38-37}{0,5}})$

$P(36<X<38)=P(-2<Z<2)$

$P(-2<Z<2)=P(Z<2)-P(Z<-2)$

$P(-2<Z<2)=P(Z<2)-(1-P(Z<2))=2P(Z<2)-1$

$P(-2<Z<2)=2\cdot 0,9772-1=0,9544$

b) Queremos calcular la probabilidad de que la temperatura sea menor que 36,5ºC:

$P(X<36,5)=P(Z<{\displaystyle \frac{36,5-37}{0,5}})$

$P(X<36,5)=P(Z<-1)$

$P(Z<-1)=1-P(Z<1)=1-0,8413=0,1587$