Ejercicio resuelto de Matemáticas I

Baleares, julio 19, opción B

S’ha fet un estudi sobre la por de volar i el nivell d’estrès en una certa comunitat. Ens diuen que el $60\mathrm{\%}$ dels individus no tenen por de volar, el $50\mathrm{\%}$ té un nivell baix d’estrès, el $25\mathrm{\%}$, un nivell mitjà, i el $5\mathrm{\%}$ té un nivell alt d’estrès i por de volar. Sabent, a més a més, que el $5\mathrm{\%}$ dels individus té un nivell mitjà d’estrès i no té por de volar, es demana:

a) Probabilitat que un individu de la comunitat tingui un nivell d’estrès mitjà i por de volar. (3 punts)

b) Sabent que un individu té por de volar, quina és la probabilitat que tingui un nivell baix d’estrès? (3 punts)

c) Són independents els esdeveniments “nivell d’estrès baix” i “por de volar”? Raonau la resposta. (4 punts)

Con los datos del problema se puede hacer la siguiente tabla. En ella se organizan los individuos según tengan miedo a volar y según su nivel de estrés.

$$	$\text{Estr}\acute{\text{e}}\text{s bajo }(EB)$	$\text{Estr}\acute{\text{e}}\text{s medio }(EM)$	$\text{Estr}\acute{\text{e}}\text{s alto }(EA)$	$\text{Total}$
No tiene miedo a volar (N)	35	5	20	60
Sí tiene miedo a volar (S)	15	20	5	40
Total	50	25	25	100

a) De 100 individuos, hay 20 que tienen miedo a volar y un nivel de estrés medio. Por tanto:

$P(EM\cap S)={\displaystyle \frac{20}{100}}=0,20$

b) Entre los 40 individuos que tienen miedo a volar, hay 15 que tienen un nivel bajo de estrés. Por tanto:

$P(EB\mathrm{/}S)={\displaystyle \frac{15}{40}}=0,375$

c) Calculamos primero las probabilidades por separado:

$P(EB)={\displaystyle \frac{50}{100}}=0,50$

$P(S)={\displaystyle \frac{40}{100}}=0,40$

La probabilidad de tener un nivel de estrés bajo y miedo a volar es:

$P(EB\cap S)={\displaystyle \frac{15}{100}}=0,15$

Para que los sucesos fueran independientes tendría que cumplirse:

$P(EB\cap S)=P(EB)\cdot P(S)$

Pero:

$P(EB)\cdot P(S)=0,50\cdot 0,40=0,20$

Como $P(EB\cap S)\mathrm{\ne }P(EB)\cdot P(S)$, los sucesos no son independientes.