Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

PROBLEMA 1 - Campo gravitatorio

Un satélite de masa $m$ se mueve con velocidad $v=5\cdot {10}^{5}m\mathrm{/}s$ en una órbita circular de radio $r=4\cdot {10}^{8}m$ alrededor de un planeta de masa $M$. La energía cinética del satélite es $E_c=2\cdot {10}^{18}J$. Calcula:

a) Las masas $M$ del planeta y $m$ del satélite. (1 punto)
b) La energía potencial y la energía mecánica del satélite en su órbita. Calcula también la energía mínima que será necesario aportar para que se aleje indefinidamente del planeta desde la órbita en que se encuentra. (1 punto)

Dato: constante de gravitación universal, $G=6,67\cdot {10}^{-11}N{m}^2\mathrm{/}k{g}^2$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{masas}}\mathit{M}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{y}}\mathit{m}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










En su órbita circular, la única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria y aplicando la 2ª ley de Newton:

$F=ma$

$G\cdot \frac{Mm}{r^2}=m\cdot \frac{v^2}{r}$

$M=\frac{r\cdot v^2}{G}=\frac{4\cdot {10}^8(5\cdot {10}^5{)}^2}{6,67\cdot {10}^{-11}}=1,5\cdot {10}^{30}kg$





Para la masa $m$ del satélite, y conocida la energía cinética de este:

$E_c=\frac{1}{2}m\cdot v^2$

$m=\frac{2\cdot E_c}{v^2}=\frac{2\cdot 2\cdot {10}^{18}}{(5\cdot {10}^5{)}^2}=1,6\cdot {10}^{7}kg$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{aportar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{aleje}}\mathbf{\text{indefinidamente}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La energía potencial será:

$E_p=-\frac{GMm}{r}=-V^{2}m=-(5{)}^2\cdot 1,6\cdot {10}^7=-4\cdot {10}^{18}J$

Y por lo tanto, la energía mecánica será:

$E_M=E_P+E_C=-4\cdot {10}^{18}+2\cdot {10}^{18}=-2\cdot {10}^{18}\text{ J}$

Si queremos que el satélite abandone el campo, tenemos que conseguir que su energía asociada al coampo sea nula $(E_{P_{\mathrm{\infty }}}=0J)$. Por tanto:

$W_{F_{nc}}=\mathrm{\Delta }{E}_m=E_{m_{\mathrm{\infty }}}-E_{m_0}=+2\cdot {10}^{18}\text{ J}$