Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

A.1 (2 puntos). Calisto (el tercer satélite con mayor masa del sistema solar), que posee una densidad de $\mathrm{1,83}\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ y un radio de $2410\mathrm{k}\mathrm{m}$, da una revolución alrededor del planeta Júpiter cada $\mathrm{16,89}$ días.

a) Calcule la masa del satélite y la aceleración de la gravedad en su superficie.
b) Obtenga la energía cinética y la energía mecánica de Calisto en su órbita circular alrededor del planeta.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; Masa de Júpiter, $M_{Jup}=\mathrm{1,90}\cdot {10}^{27}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

Antes de empezar conviene pasar los datos al Sistema Internacional. La densidad:

$\rho =\mathrm{1,83}{\displaystyle \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}\cdot {\displaystyle \frac{{10}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}}{1\mathrm{g}}}\cdot {\displaystyle \frac{1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}{{10}^{-6}{\mathrm{m}}^3}}=1830\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{/}{\mathrm{m}}^3$

El radio del satélite y el periodo orbital:

$R=2410\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{2,41}\cdot {10}^6\mathrm{m}$

$T=\mathrm{16,89}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot {\displaystyle \frac{86400\mathrm{s}}{1\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}}=\mathrm{1,4593}\cdot {10}^6\mathrm{s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{superficie.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Calisto es aproximadamente esférico, así que su masa es el producto de su densidad por su volumen. El volumen de una esfera de radio $R$ es $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$, de modo que:

$m=\rho \cdot V=\rho \cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$

Sustituyendo los valores:

$m=1830{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi {(\mathrm{2,41}\cdot {10}^6\mathrm{m})}^3$

$m=1830{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^3}}\cdot \mathrm{5,863}\cdot {10}^{19}{\mathrm{m}}^3=\mathrm{1,07}\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}$

$\boxed{{\displaystyle m=\mathrm{1,07}\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}}}$

Para la gravedad en la superficie aplicamos la ley de gravitación universal: el satélite atrae a un cuerpo situado sobre su superficie ($r=R$) con una fuerza cuyo módulo, dividido por la masa de ese cuerpo, es la aceleración de la gravedad. Por tanto,

$g_0={\displaystyle \frac{Gm}{R^2}}$

Sustituyendo los valores:

$g_0={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{1,07}\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}}{{(\mathrm{2,41}\cdot {10}^6\mathrm{m})}^2}}$

$g_0={\displaystyle \frac{\mathrm{7,14}\cdot {10}^{12}}{\mathrm{5,81}\cdot {10}^{12}}}\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=\mathrm{1,23}\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2$

$\boxed{{\displaystyle g_0=\mathrm{1,23}\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2}}$

(Es un valor mucho menor que el terrestre, lo que es coherente con que Calisto sea un satélite de masa modesta.)

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Calisto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Primero necesitamos el radio de la órbita. Como Calisto describe una órbita circular alrededor de Júpiter, la fuerza gravitatoria que ejerce el planeta hace de fuerza centrípeta. Igualando ambas:

${\displaystyle \frac{G{M}_{Jup}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}=m{\omega }^{2}r$

Como $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$, sustituyendo y simplificando la masa $m$ del satélite se obtiene la tercera ley de Kepler:

$r^3={\displaystyle \frac{G{M}_{Jup}{T}^2}{4{\pi }^2}}$

Despejando $r$ y sustituyendo los valores:

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{1,90}\cdot {10}^{27}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {(\mathrm{1,4593}\cdot {10}^6\mathrm{s})}^2}{4{\pi }^2}}}$

$r=\sqrt[3]{\mathrm{6,836}\cdot {10}^{27}{\mathrm{m}}^3}=\mathrm{1,90}\cdot {10}^9\mathrm{m}$

La velocidad orbital, a partir de la igualdad fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta ($v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_{Jup}}{r}}}$), vale:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{1,90}\cdot {10}^{27}\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{1,90}\cdot {10}^9\mathrm{m}}}}=\mathrm{8,17}\cdot {10}^3\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

La energía cinética del satélite en su órbita es:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{1,07}\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {(\mathrm{8,17}\cdot {10}^3\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s})}^2$

$\boxed{{\displaystyle E_c=\mathrm{3,58}\cdot {10}^{30}\mathrm{J}}}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial gravitatoria, $E_p=-{\displaystyle \frac{G{M}_{Jup}m}{r}}$. En una órbita circular se cumple $E_c=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{E}_p$, por lo que:

$E_m=E_c+E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{G{M}_{Jup}m}{r}}-{\displaystyle \frac{G{M}_{Jup}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{Jup}m}{2r}}=-E_c$

Sustituyendo los valores:

$E_m=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{1,90}\cdot {10}^{27}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{1,07}\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}}{2\cdot \mathrm{1,90}\cdot {10}^9\mathrm{m}}}$

$\boxed{{\displaystyle E_m=-\mathrm{3,58}\cdot {10}^{30}\mathrm{J}}}$

La energía mecánica es negativa, como corresponde a un satélite ligado gravitatoriamente a Júpiter, y su valor es el opuesto de la energía cinética.