Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

B.1 (2 puntos). Se tiene un planeta de masa $\mathrm{1,95}\cdot {10}^{26}\mathrm{k}\mathrm{g}$ y radio $5500\mathrm{k}\mathrm{m}$. Determine:

a) El módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta. b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.

Dato: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$.

Antes de empezar conviene pasar el radio al Sistema Internacional, ya que todas las fórmulas trabajan en metros:

$R=5500\mathrm{k}\mathrm{m}=5500\cdot {10}^3\mathrm{m}=\mathrm{5,5}\cdot {10}^6\mathrm{m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La aceleración de la gravedad en un punto es, por definición, el módulo de la intensidad del campo gravitatorio $\vec{g}$ creado por el planeta en ese punto. Para un planeta esférico y homogéneo, el campo en el exterior es el mismo que crearía toda su masa concentrada en el centro, de modo que a una distancia $r$ del centro vale:

$\mathrm{\mid }\vec{g}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{GM}{r^2}}$

En la superficie la distancia al centro es justamente el radio del planeta, $r=R$. Por tanto:

$g={\displaystyle \frac{GM}{R^2}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$g={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{1,95}\cdot {10}^{25}\mathrm{k}\mathrm{g}}{{(\mathrm{5,5}\cdot {10}^6\mathrm{m})}^2}}$

Operamos primero el numerador y el denominador por separado:

$g={\displaystyle \frac{\mathrm{1,30065}\cdot {10}^{15}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}}{\mathrm{3,025}\cdot {10}^{13}{\mathrm{m}}^2}}$

Recordando que $1\mathrm{N}=1\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, las unidades quedan en $\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2$, como corresponde a una aceleración:

$\boxed{{\displaystyle g\approx 43\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2}}$

Es un valor elevado comparado con el terrestre ($\mathrm{9,8}\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2$), lo cual es coherente con que se trata de un planeta masivo y relativamente compacto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La velocidad de escape $v_e$ es la velocidad mínima con la que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie para que escape del campo gravitatorio del planeta, es decir, para que llegue al infinito ($r\to \mathrm{\infty }$) con velocidad nula.

Como la fuerza gravitatoria es conservativa, aplicamos la conservación de la energía mecánica entre la superficie y el infinito. Tomando el origen de energía potencial en el infinito:

$E_{\text{sup}}=E_{\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_e^2-{\displaystyle \frac{GMm}{R}}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\mathrm{\infty }}^2-{\displaystyle \frac{GMm}{\mathrm{\infty }}}$

En la situación límite el cuerpo llega al infinito con velocidad nula ($v_{\mathrm{\infty }}=0$) y, además, el término de energía potencial en el infinito se anula. La ecuación se reduce a:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_e^2-{\displaystyle \frac{GMm}{R}}=0$

Observamos que la masa $m$ del cuerpo lanzado se simplifica (la velocidad de escape no depende de ella). Despejando $v_e$:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_e^2={\displaystyle \frac{GM}{R}}⟹v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{1,95}\cdot {10}^{25}\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{5,5}\cdot {10}^6\mathrm{m}}}}$

Operamos el interior de la raíz:

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{2,6013}\cdot {10}^{15}}{\mathrm{5,5}\cdot {10}^6}}}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}=\sqrt{\mathrm{4,73}\cdot {10}^8}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

$v_e\approx \mathrm{2,175}\cdot {10}^4\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

Expresado en kilómetros por segundo:

$\boxed{{\displaystyle v_e\approx \mathrm{21,75}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

Es una velocidad de escape muy grande (frente a los $\mathrm{11,2}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$ de la Tierra), de nuevo coherente con la elevada masa del planeta. Conviene notar que la velocidad de escape se relaciona con la gravedad superficial mediante $v_e=\sqrt{2gR}$, lo que permite comprobar el resultado a partir del valor de $g$ hallado en el apartado a): $\sqrt{2\cdot 43\cdot \mathrm{5,5}\cdot {10}^6}\approx \mathrm{2,175}\cdot {10}^4\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$.