Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

B.1 (2 puntos). La sonda espacial Mars Reconnaissance Orbiter consiguió en septiembre de 2006 situarse en una órbita circular en torno al planeta Marte a $290\mathrm{k}\mathrm{m}$ de altura sobre la superficie para realizar un mapeo de su superficie. Tras utilizar combustible en la maniobra de aproximación, la sonda actualmente tiene una masa de $1031\mathrm{k}\mathrm{g}$.

a) Halle el período de revolución de la sonda espacial y su velocidad orbital alrededor de Marte.
b) Obtenga la energía mínima necesaria que habría que suministrar al satélite para que escape del campo gravitatorio marciano.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; Masa de Marte, $M_{Marte}=\mathrm{6,42}\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Radio de Marte, $R_{Marte}=\mathrm{3,39}\cdot {10}^6\mathrm{m}$.

$\mathbf{\text{B.1}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{Mars}}\mathbf{\text{Reconnaissance}}\mathbf{\text{Orbiter}}\mathbf{\text{consigui}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{situarse}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{torno}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{Marte}}\mathbf{\text{a}}290\mathrm{k}\mathrm{m}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura.}}\mathbf{\text{Su}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{actual}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}1031\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}$

Tomamos como datos la altura sobre la superficie y los parámetros del planeta:

$h=290\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{2,90}\cdot {10}^5\mathrm{m}$

$m=1031\mathrm{k}\mathrm{g}$

$G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}M=\mathrm{6,42}\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}R=\mathrm{3,39}\cdot {10}^6\mathrm{m}$

El radio de la órbita se mide desde el centro de Marte, de modo que es la suma del radio del planeta más la altura:

$r=R+h=\mathrm{3,39}\cdot {10}^6\mathrm{m}+\mathrm{2,90}\cdot {10}^5\mathrm{m}=\mathrm{3,68}\cdot {10}^6\mathrm{m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{revoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria que Marte ejerce sobre la sonda actúa como fuerza centrípeta. Aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección radial:

${\displaystyle \frac{GMm}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

Despejando la velocidad orbital (la masa de la sonda se simplifica):

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$

Sustituyendo los valores:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{6,42}\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{3,68}\cdot {10}^6\mathrm{m}}}}=\sqrt{\mathrm{1,164}\cdot {10}^7{\mathrm{m}}^2\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2}$

$\boxed{{\displaystyle v\approx \mathrm{3,41}\cdot {10}^3\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

El movimiento es circular y uniforme, por lo que el período es el cociente entre la longitud de la órbita y la velocidad orbital:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}$

Sustituyendo los valores:

$T={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{3,68}\cdot {10}^6\mathrm{m}}{\mathrm{3,41}\cdot {10}^3\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

$\boxed{{\displaystyle T\approx \mathrm{6,78}\cdot {10}^3\mathrm{s}\approx 113\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$

Es decir, la sonda completa una vuelta a Marte en algo menos de dos horas (aproximadamente 1 h 53 min).

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{necesaria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{suministrar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{marciano.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La energía mecánica de la sonda en su órbita es la suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria:

$E_m=E_c+E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}$

Como en órbita circular se cumple ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$, la energía mecánica orbital queda:

$E_m={\displaystyle \frac{GMm}{2r}}-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$

La sonda escapa del campo gravitatorio cuando logra alejarse infinitamente con velocidad nula, situación en la que su energía mecánica es cero ($E_m^{\mathrm{\prime }}=0$). Por conservación de la energía, la energía mínima que hay que suministrar es la diferencia entre el estado final y el inicial:

$E_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}}=E_m^{\mathrm{\prime }}-E_m=0-(-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}})={\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$

Sustituyendo los valores:

$E_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot \mathrm{6,42}\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 1031\mathrm{k}\mathrm{g}}{2\cdot \mathrm{3,68}\cdot {10}^6\mathrm{m}}}$

$\boxed{{\displaystyle E_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{e}}\approx \mathrm{6,00}\cdot {10}^9\mathrm{J}}}$

Por tanto, habría que aportar aproximadamente $\mathrm{6,00}\cdot {10}^9\mathrm{J}$ a la sonda para que abandone el campo gravitatorio de Marte. Esta energía coincide, en valor absoluto, con la energía mecánica de la órbita: es la energía de ligadura que mantiene a la sonda atada al planeta.