Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

PROBLEMA 1 - Interacción gravitatoria

El satélite Sentinel 1 se utiliza para la monitorización del suelo terrestre por teledetección. Tiene una masa $m=2200\text{kg}$ y completa 14,5 órbitas circulares alrededor de la Tierra cada día.

a) Deduce la relación entre el radio de la órbita, la masa de la Tierra y la velocidad angular del Sentinel 1. Calcula la altura a la que se encuentra orbitando. (1 punto)
b) Calcula la velocidad orbital, la energía cinética y la energía mecánica del Sentinel 1. (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal, $G=6,67\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$; masa de la Tierra, $M=6,0\cdot {10}^{24}\text{kg}$; radio de la Tierra, $R=6370\text{km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Deduce}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sentinel}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{orbitando.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Podemos calcular el periodo de órbita fácilmente según:

$\frac{1\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}{\mathrm{14,5}\acute{\text{o}}\text{rbitas}}\cdot \frac{86400\text{ s}}{1\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}=\mathrm{5958,62}\text{s/}\acute{\text{o}}\text{rbita}$

La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, y aplicando la segunda ley de Newton:




$F=m{a}_n$

$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$

$\frac{GM}{r}=v^2$

$\text{como }v=\omega r\Rightarrow \frac{GM}{r}={\omega }^2{r}^2$

$GM={\omega }^2{r}^3\text{(relaci}\acute{\text{o}}\text{n pedida)}$

Usando la relación pedida:

$GM={\omega }^2{r}^3$

$r=\sqrt[3]{\frac{GM}{{\omega }^2}}\text{como }\omega =\frac{2\pi }{T}$

$r=\sqrt[3]{\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}$

Y sustituyendo:

$r=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot (\mathrm{5958,62}{)}^2}{4{\pi }^2}}=\mathrm{7,113}\cdot {10}^6\text{ m}=7113\text{ km}$

La altura pedida por tanto:

$r=R_T+h$

$h=r-R_T=7113-6370=7113\text{km}$


$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sentinel}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Ya hemos utilizado que:

$v=\omega \cdot r=\frac{2\pi }{T}r=\frac{2\pi }{5958,62}7,113\cdot {10}^6=7500,44\text{m/s}$

Y las energías pedidas:

$E_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\cdot 2200\cdot (\mathrm{7500,44}{)}^2=\mathrm{6,49}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

$E_p=-\frac{GMm}{r}=-\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 2200}{\mathrm{7,113}\cdot {10}^6}=-\mathrm{1,238}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

$E_M=E_c+E_p=-\mathrm{6,49}\cdot {10}^{10}\text{ J}$