Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

PROBLEMA 1 - Interacción gravitatoria

La masa del planeta K2-72 es $2,21$ veces la masa de la Tierra y su radio es $1,29$ veces el radio de la Tierra.

a) ¿Cuál es el valor de la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de K2-72? ¿Cuál es la fuerza gravitatoria que K2-72 ejerce sobre una persona de $70kg$ en reposo sobre su superficie? (1 punto)
b) Determina la distancia desde el centro de K2-72 para la cual la intensidad de campo gravitatorio es $0,16$ veces el valor en su superficie. Deduce y calcula la velocidad que tendría un satélite en órbita circular a dicha distancia. (1 punto)

Datos: campo gravitatorio de la Tierra en su superficie, $g_0=9,8m\mathrm{/}{s}^2$; radio terrestre, $R_T=6,37\cdot {10}^{6}m$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{K2-72?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{K2-72}}\mathbf{\text{ejerce}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">70</mn><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>kg</mtext></mrow>}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{reposo}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{superficie?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Se nos da que $g_{tierra}=9,8\text{ m/s}$ que sabemos que corresponde a $g_{tierra}=\frac{G{M}_T}{R_T^2}$. Se pide calcular $g_k$ que calculamos según:

$g_k=\frac{G{M}_k}{R_k^2}=\frac{G\cdot 2,21\cdot M_T}{(1,29\cdot R_T{)}^2}=\frac{2,21}{1,{29}^2}\cdot \frac{G{M}_T}{R_T^2}=\frac{2,21}{1,{29}^2}\cdot g_{tierra}=\frac{2,21}{1,{29}^2}\cdot 9,8=13,01\text{ m/s}$





La fuerza gravitatoria sobre una persona de $m=70\text{ kg}$ es:

$F=mg=70\cdot 13,01=910,7\text{ N}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{K2-72}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">0,16</mn>}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{superficie.}}\mathbf{\text{Deducir}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{distancia.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Sabemos que a la distancia $r$ se debe verificar que:

$g^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,16}{g}_K$

$\frac{G{M}_K}{r^2}=\mathrm{0,16}\frac{G{M}_K}{R_K^2}$

$r^2=\frac{R_K^2}{\mathrm{0,16}}\Rightarrow r=\sqrt{\frac{R_K^2}{\mathrm{0,16}}}=\frac{R_K}{\mathrm{0,4}}=\mathrm{2,5}{R}_K$

$r=\mathrm{2,5}(\mathrm{1,29}{R}_T)=\mathrm{2,05}\cdot {10}^7\text{ m}$





Para la velocidad del satélite, aplicamos la segunda ley de Newton al satélite:

$F=ma$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$

$v=\sqrt{\frac{G\cdot M_k}{r}}$

Por lo que necesitamos el producto $G\cdot M_k$, que lo podemos deducir de:

$g^{\mathrm{\prime }}=\frac{G\cdot M_k}{r^2}$

$G\cdot M_k=g^{\mathrm{\prime }}\cdot r^2=0,16g_k\cdot r^2$

Con lo que:

$v=\sqrt{\frac{G{M}_k}{r}}=\sqrt{\frac{\mathrm{0,16}{g}_k{r}^2}{r}}=\sqrt{\mathrm{0,16}{g}_{K}r}$

$v=\sqrt{\mathrm{0,16}\cdot \mathrm{13,01}\cdot \mathrm{2,05}\cdot {10}^7}=\mathrm{6532,44}\text{ m/s}$