Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

CUESTIÓN 1 - Interacción gravitatoria

Deduce razonadamente la expresión de la velocidad de un satélite que gira alrededor de un planeta en una órbita circular y también la de la velocidad mínima necesaria para que se aleje indefinidamente desde la órbita en la que se encuentra. Supongamos que un satélite orbita a una distancia r de un planeta y se propulsa instantáneamente, de forma que su velocidad pasa a ser 1,5 veces la velocidad orbital, ¿continuará dicho satélite en alguna órbita o se alejará indefinidamente del planeta? Justifica la respuesta.

La fuerza gravitatoria es la única gravitatoria es la única que actúa sobre el satélite. Aplicando la segundo ley de Newton:

$F_g=m\cdot a_N$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{V}_{orb}^2}{r}$





$V_{orb}=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ donde $\{\begin{array}{l}G\Rightarrow \text{Constante de Gravitaci}\acute{\text{o}}\text{n}\\ M\Rightarrow \text{Masa del planeta}\\ r\Rightarrow \text{Radio de la }\acute{\text{o}}\text{rbita}\end{array}$

La velocidad mínima para que satélite se aleje indefinidamente del planeta es lo que llamamos velocidad de escape, que es la velocidad mínima que debe poseer para alcanzar el infinito con velocidad nula










En términos energéticos, el satélite deberá poseer la energía cinética suficiente para que eso sea posible. Como la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, aplicando el principio de conservación de la energía:





$\mathrm{\Delta }{E}_m=0$

$E_{m_{inicial}}=E_{m_{final}}$

$E_{p_0}+E_{c_0}=E_{p_{\mathrm{\infty }}}+E_{c_{\mathrm{\infty }}}$, donde $E_{p_{\mathrm{\infty }}}=0$ y $E_{c_{\mathrm{\infty }}}=0$

$-\frac{GMm}{r}+\frac{1}{2}m{V}_{esc}^2=0$

$V_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Si un satélite se propulsa instantáneamente con velocidad $V=1,5V_{orb}$, entonces:

$\frac{V}{V_{esc}}=\frac{1,5V_{orb}}{V_{esc}}=\frac{1,5\sqrt{\frac{GM}{r}}}{\sqrt{2}\sqrt{\frac{GM}{r}}}=\frac{1,5}{\sqrt{2}}>1$

Por lo tanto, $\frac{V}{V_{esc}}>1\Rightarrow V>V_{esc}$

Al ser la velocidad del satélite se alejará indefinidamente del planeta.