Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

CUESTIÓN 2 - Interacción gravitatoria

Deduce la relación entre la energía mecánica de un satélite y el radio de su órbita circular alrededor de un planeta. Dos satélites, $A$ y $B$, de igual masa siguen órbitas circulares, uno con energía mecánica $E_A=-4\cdot {10}^{10}$ J y otro con $E_B=-2\cdot {10}^{10}$ J. Razona cuál de los dos satélites tiene mayor energía cinética y cuál se encuentra más lejos del planeta.

La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, y con la segunda ley de Newton:

$F=ma$

$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$

$\frac{GM}{r}=v^2$




La energía cinética del satélite en su órbita circular:

$E_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m\frac{GM}{r}=\frac{1}{2}\frac{GMm}{r}$

La energía potencial a una distancia $r$ del centro del planeta es, por definición:

$E_p=-\frac{GMm}{r}$

Con lo que la energía mecánica del satélite en su órbita:

$E_M=E_c+E_p=\frac{1}{2}\frac{GMm}{r}-\frac{GMm}{r}=-\frac{1}{2}\frac{GMm}{r}$

Fijándonos en la relación entre energía mecánica y energía cinética según $E_m=-E_C$:

$\frac{E_{M_A}}{E_{M_B}}=\frac{-E_{c_A}}{-E_{c_B}}$

$\frac{-4\cdot {10}^{10}}{-2\cdot {10}^{10}}=\frac{E_{c_A}}{E_{c_B}}$

$2=\frac{E_{c_A}}{E_{c_B}}$

$E_{c_A}=2E_{c_B}\Rightarrow \text{Tiene mayor energ}\acute{\text{ı}}\text{a cin}\acute{\text{e}}\text{tica el sat}\acute{\text{e}}\text{lite A.}$

Y analizando cuál posee un mayor radio:

$E_{c_A}=2E_{c_B}$

$\frac{1}{2}\frac{GMm}{r_A}=2\cdot \frac{1}{2}\frac{GMm}{r_B}$

$\frac{1}{r_A}=2\cdot \frac{1}{r_B}$

$r_B=2r_A\Rightarrow \text{Est}\acute{\text{a}}\text{ m}\acute{\text{a}}\text{s lejos el sat}\acute{\text{e}}\text{lite B.}$