Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

PROBLEMA 1 - Interacción gravitatoria

Una sonda espacial de masa 800 kg se coloca en órbita circular de radio 6500 km alrededor de Venus. Si la energía cinética de la sonda es de $2\cdot {10}^{10}$ J:

a) Deduce la expresión de la velocidad orbital de la sonda y calcula la masa de Venus. (1 punto)
b) Si Venus es un planeta esférico de densidad $\rho =5,24g\mathrm{/}c{m}^3$, obtén la altura, en kilómetros, a la que hay que situar un cuerpo para que la fuerza de atracción gravitatoria que realiza Venus sobre este cuerpo sea un 36% menor que la ejercida en su superficie. (1 punto)

Dato: constante de gravitación universal, $G=6,67\cdot {10}^{-11}N\cdot m^2\mathrm{/}k{g}^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Deducir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Venus.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










$F=m\cdot a$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{V}^2}{R}$

$V^2=\frac{GM}{r}$

$V=\sqrt{\frac{GM}{r}}$





Como se nos da la energía cinética:

$E_c=\frac{1}{2}m{V}^2=\frac{1}{2}m\frac{GM}{r}$

$M=\frac{2E_{c}r}{Gm}$

La masa $M$ pedida, por lo tanto, sustituyendo los valores es:

$M=\frac{2E_{c}r}{Gm}=\frac{2\cdot 2\cdot {10}^{10}\cdot 6500\cdot {10}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\cdot 800}=4,87\cdot {10}^{24}\text{kg}$



Teniendo la densidad, podremos determinar el radio de Venus:

$\rho =5,24\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}\cdot \frac{1\text{kg}}{1000\text{g}}\cdot \frac{{100}^3{\text{cm}}^3}{1{\text{m}}^3}=5240\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

Y como:

$\rho =\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

$R=(\frac{M}{\frac{4}{3}\pi \rho }{)}^{\frac{1}{3}}=(\frac{4,87\cdot {10}^{24}}{\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 5240}{)}^{\frac{1}{3}}=6,05\cdot {10}^6\text{m}$










Así, nos dicen que la fuerza sobre el cuerpo en altura es un 36% menor que la fuerza en superficie. Por tanto, y con la ley de gravitación de Newton:





$F_2=\frac{64}{100}{F}_1$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{64}{100}\cdot \frac{GMm}{R^2}$

$r^2=\frac{100}{64}{R}^2$

$r=\sqrt{\frac{100\cdot R^2}{64}}$

$r=\frac{5}{4}R$

Como nos piden la altura:

$r=R+h$

$h=r-R=\frac{5}{4}R-R=\frac{R}{4}=\frac{6,05\cdot {10}^6}{4}=1,51\cdot {10}^6\text{m}=1,51\cdot {10}^3\text{km}$