Ejercicio resuelto de Ecuaciones con radicales · Matemáticas I

Resuelve las ecuaciones con radicales. Recuerda que hay que verificar soluciones en la ecuación original

1. $\sqrt{3x-5}+\sqrt{3x-14}=9$

2. $\sqrt{x+10}-\sqrt{x+19}=-1$

3. $\sqrt{5-x}+\sqrt{x+3}=0$

4. $\sqrt{5x+19}-\sqrt{5x}=-1$

5. $\sqrt{x-2}+5=\sqrt{x+53}$

1) $\sqrt{A}+\sqrt{B}=c$
Aislar una raíz y elevar al cuadrado.
$\sqrt{3x-5}+\sqrt{3x-14}=9\Rightarrow \sqrt{3x-5}=9-\sqrt{3x-14}\Rightarrow x=10$
Comprobación: $\sqrt{30-5}+\sqrt{30-14}=5+4=9$

2) $\sqrt{A}-\sqrt{B}=c$
Aislar una raíz y elevar al cuadrado.
$\sqrt{x+10}-\sqrt{x+19}=-1\Rightarrow \sqrt{x+10}=\sqrt{x+19}-1\Rightarrow x=6$
Comprobación: $\sqrt{16}-\sqrt{25}=4-5=-1$

3) $\sqrt{A}\ge 0$
Una suma de raíces cuadradas solo puede ser $0$ si ambas raíces son $0$.
$\sqrt{5-x}+\sqrt{x+3}=0\Rightarrow S=\mathrm{\varnothing }$
Comprobación: no puede ocurrir que $5-x=0$ y $x+3=0$ a la vez.

4) $\sqrt{A}>\sqrt{B}$ si $A>B$
El lado izquierdo es positivo, pero debería ser $-1$.
$\sqrt{5x+19}-\sqrt{5x}=-1\Rightarrow S=\mathrm{\varnothing }$
Comprobación: no hay solución.

5) $\sqrt{A}=B⟺A=B^2,B\ge 0$
$\sqrt{x-2}+5=\sqrt{x+53}\Rightarrow \sqrt{x-2}=\sqrt{x+53}-5\Rightarrow x=11$
Comprobación: $\sqrt{11-2}+5=\sqrt{11+53}\Rightarrow 3+5=8$