Ejercicio resuelto de Física moderna · Física · 2022

B.5 (2 puntos). Un electrón relativista ha llegado a adquirir una energía cinética equivalente a la energía de un fotón de $5\cdot {10}^{-12}\mathrm{m}$ de longitud de onda en el vacío. Calcule:

a) La energía cinética del electrón, en eV.

b) La velocidad del electrón.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$; Constante de Planck, $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$; Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$; Masa del electrón en reposo, $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

$\mathbf{\text{B.5}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativista}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{llegado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{adquirir}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{equivalente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{fot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}5\cdot {10}^{-12}\mathrm{m}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vac}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{o.}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eV.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La energía de un fotón depende únicamente de su frecuencia (o, equivalentemente, de su longitud de onda) según la relación de Planck-Einstein:

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=h\nu ={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}$

donde hemos usado que para una onda electromagnética en el vacío $c=\lambda \nu$, de modo que $\nu ={\displaystyle \frac{c}{\lambda }}$.

El enunciado nos dice que la energía cinética del electrón es igual a la energía de ese fotón, es decir, $E_c=E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}$. Sustituyendo los datos con sus unidades:

$E_c={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}\cdot 3\cdot {10}^8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}{5\cdot {10}^{-12}\mathrm{m}}}$

Operando:

$E_c=\mathrm{3,978}\cdot {10}^{-14}\mathrm{J}$

El resultado se pide en electronvoltios. Recordamos que $1\mathrm{e}\mathrm{V}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$, por lo que para pasar de julios a eV dividimos por la carga del electrón:

$E_c={\displaystyle \frac{\mathrm{3,978}\cdot {10}^{-14}\mathrm{J}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{e}\mathrm{V}}}=\mathrm{2,49}\cdot {10}^5\mathrm{e}\mathrm{V}$

Por tanto, la energía cinética del electrón es:

$\boxed{{\displaystyle E_c\approx \mathrm{2,49}\cdot {10}^5\mathrm{e}\mathrm{V}\approx 249\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{V}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Como la energía cinética obtenida ($\sim 249\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{V}$) es comparable a la energía en reposo del electrón, NO podemos usar la expresión clásica $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$: el electrón es relativista, tal como advierte el propio enunciado. Debemos emplear la energía cinética relativista, que es la diferencia entre la energía total y la energía en reposo:

$E_c=E-E_0=\gamma m_e{c}^2-m_e{c}^2=(\gamma -1)m_e{c}^2$

donde $\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}}$ es el factor de Lorentz.

En primer lugar calculamos la energía en reposo del electrón, $E_0=m_e{c}^2$, sustituyendo los datos:

$E_0=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot (3\cdot {10}^8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}{)}^2=\mathrm{8,19}\cdot {10}^{-14}\mathrm{J}$

Despejamos ahora el factor de Lorentz de la energía cinética relativista:

$\gamma =1+{\displaystyle \frac{E_c}{m_e{c}^2}}=1+{\displaystyle \frac{E_c}{E_0}}$

Sustituyendo (trabajamos en julios para que las unidades se cancelen):

$\gamma =1+{\displaystyle \frac{\mathrm{3,978}\cdot {10}^{-14}\mathrm{J}}{\mathrm{8,19}\cdot {10}^{-14}\mathrm{J}}}=1+\mathrm{0,4857}=\mathrm{1,486}$

Finalmente despejamos la velocidad a partir de la definición de $\gamma$. Elevando al cuadrado y reordenando:

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}}⟹{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}=1-{\displaystyle \frac{1}{{\gamma }^2}}⟹v=c\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{{\gamma }^2}}}$

Sustituyendo los valores:

$v=3\cdot {10}^8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\cdot \sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{(\mathrm{1,486}{)}^2}}}=3\cdot {10}^8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\cdot \sqrt{1-\mathrm{0,453}}$

$v=3\cdot {10}^8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\cdot \mathrm{0,740}$

Por tanto, la velocidad del electrón es:

$\boxed{{\displaystyle v\approx \mathrm{2,22}\cdot {10}^8\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}}}$

Esta velocidad es aproximadamente $\mathrm{0,74}c$, lo que confirma que efectivamente se trata de un electrón relativista y justifica que haya sido necesario emplear la dinámica relativista en lugar de la clásica.