Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2021

B.3 (2 puntos). Un hilo conductor rectilíneo indefinido situado a lo largo del eje $x$ transporta una corriente de $25\mathrm{A}$ en sentido positivo del eje. Obtenga:

a) El campo magnético creado por el hilo en el punto $(0,5,0)\mathrm{c}\mathrm{m}$.

b) La fuerza magnética que experimenta un electrón cuando está en la posición $(0,5,0)\mathrm{c}\mathrm{m}$ y tiene una velocidad de $1000\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ en sentido positivo del eje $y$.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$; Permeabilidad magnética del vacío, ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{A}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{B.3}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{hilo}}\mathbf{\text{conductor}}\mathbf{\text{rectil}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{neo}}\mathbf{\text{indefinido}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathit{x}\mathbf{\text{transporta}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{de}}25\mathrm{A}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{positivo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje.}}$

Antes de operar conviene fijar la geometría. El hilo coincide con el eje $x$ y la corriente circula en sentido $+x$, es decir, $\vec{I}=I{\vec{u}}_x$. El punto de estudio es

$P=(0,5,0)\mathrm{c}\mathrm{m}=(0,\mathrm{0,05},0)\mathrm{m},$

que está sobre el eje $y$, a una distancia perpendicular del hilo de $r=5\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,05}\mathrm{m}$. Toda la geometría está contenida en el dibujo adjunto.





El campo magnético creado por un hilo conductor rectilíneo e indefinido a una distancia perpendicular $r$ se obtiene de la ley de Ampère (o de la ley de Biot y Savart) y tiene por módulo:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$B={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{A}}^{-1}\cdot 25\mathrm{A}}{2\pi \cdot \mathrm{0,05}\mathrm{m}}}$

Operamos. El factor $4\pi \mathrm{/}2\pi =2$, de modo que:

$B={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-7}\cdot 25}{\mathrm{0,05}}}\mathrm{T}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,0}\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,05}}}\mathrm{T}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}\mathrm{T}$

Falta determinar la dirección y el sentido. Las líneas de campo de un hilo recto son circunferencias contenidas en planos perpendiculares al hilo, y su sentido lo da la regla de la mano derecha: con el pulgar apuntando en el sentido de la corriente ($+x$), los dedos giran indicando el sentido de $\vec{B}$. Formalmente, en cualquier punto:

$\vec{B}={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}({\vec{u}}_I\times {\vec{u}}_r)$

donde ${\vec{u}}_I={\vec{u}}_x$ es el sentido de la corriente y ${\vec{u}}_r={\vec{u}}_y$ es el unitario que va del hilo al punto $P$ (situado sobre el eje $y$). Como ${\vec{u}}_x\times {\vec{u}}_y={\vec{u}}_z$, el campo está dirigido en el sentido positivo del eje $z$:

$\boxed{{\displaystyle \vec{B}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}{\vec{u}}_z\mathrm{T}}}$



Sobre una carga $q$ que se mueve con velocidad $\vec{v}$ dentro de un campo magnético $\vec{B}$ actúa la fuerza de Lorentz:

$\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})$

Para el electrón la carga es negativa, $q=-e=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$. Los vectores velocidad y campo, expresados en la base canónica, son:

$\vec{v}=1000{\vec{u}}_y\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\vec{B}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}{\vec{u}}_z\mathrm{T}$

Calculamos primero el producto vectorial $\vec{v}\times \vec{B}$. Como ${\vec{u}}_y\times {\vec{u}}_z={\vec{u}}_x$:

$\vec{v}\times \vec{B}=(1000{\vec{u}}_y)\times (\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}{\vec{u}}_z)=1000\cdot \mathrm{1,0}\cdot {10}^{-4}({\vec{u}}_y\times {\vec{u}}_z)=\mathrm{0,1}{\vec{u}}_x\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$

Sustituyendo en la fuerza de Lorentz, sin olvidar el signo negativo de la carga del electrón:

$\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})=(-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C})\cdot (\mathrm{0,1}{\vec{u}}_x\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1})$

$\vec{F}=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-20}{\vec{u}}_x\mathrm{N}$

El signo negativo indica que la fuerza apunta en el sentido $-x$: aunque el producto $\vec{v}\times \vec{B}$ va en $+x$, la carga negativa del electrón invierte el sentido. Su módulo es:

$\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-20}\mathrm{N}$

Por tanto, el electrón experimenta una fuerza magnética dirigida en sentido $-x$:

$\boxed{{\displaystyle \vec{F}=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-20}{\vec{u}}_x\mathrm{N}\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-20}\mathrm{N}}}$