Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2024

Dos hilos indefinidos paralelos al eje $z$ llevan intensidades iguales $I_1=I_2=2\mathrm{A}$ y cortan el plano $xy$ en los puntos $(0,0)\mathrm{m}$ y $(4,0)\mathrm{m}$, respectivamente. Si el primer hilo, el que pasa por el origen, lleva su intensidad en el sentido positivo del eje $z$ y el segundo en sentido negativo, determine el campo magnético en los puntos:

a) $A(0,3)\mathrm{m}$.

b) $B(2,3)\mathrm{m}$.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{A}}^{-1}$.

El módulo del campo creado por un hilo rectilíneo indefinido a una distancia $r$ viene dado por la ley de Biot y Savart, y su sentido lo fija la regla de la mano derecha:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$












El punto $A$ está justo encima del primer hilo, a $3\text{ m}$, y a $5\text{ m}$ del segundo:

$r_1=3\text{ m}{r}_2=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ m}$





El campo del hilo 1, con la corriente en $+Z$, es horizontal y apunta hacia $-X$:

${\vec{B}}_1=-{\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi \cdot 3}}\vec{\mathrm{ı}}=-\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-7}\vec{\mathrm{ı}}\text{ T}$

El del hilo 2, con la corriente en $-Z$, tiene las dos componentes, con $\cos \theta =3\mathrm{/}5$ y $\text{sen}\theta =4\mathrm{/}5$:

$B_2={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi \cdot 5}}=\mathrm{8,0}\cdot {10}^{-8}\text{ T}$

${\vec{B}}_2=(\mathrm{4,80}\cdot {10}^{-8}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{6,40}\cdot {10}^{-8}\vec{\mathrm{ȷ}})\text{ T}$

Por el principio de superposición:

$\vec{B}(A)=(-\mathrm{8,53}\cdot {10}^{-8}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{6,40}\cdot {10}^{-8}\vec{\mathrm{ȷ}})\text{ T}$



El punto $B$ está en la mediatriz del segmento que une los hilos, de modo que dista lo mismo de los dos:

$r=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\text{ m}$

Los dos campos tienen entonces el mismo módulo:

$B_1=B_2={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi \sqrt{13}}}=\mathrm{1,11}\cdot {10}^{-7}\text{ T}$

Al ser las corrientes antiparalelas, en ese punto las componentes horizontales se cancelan y las verticales se suman, con $\text{sen}\theta =2\mathrm{/}\sqrt{13}$:

$\vec{B}(B)=2B_1{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}}\vec{\mathrm{ȷ}}=\mathrm{1,23}\cdot {10}^{-7}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ T}$

En $A$ el campo vale $(-\mathrm{8,53}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{6,40}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^{-8}\text{ T}$, y en $B$, por simetría, es puramente vertical y vale $\mathrm{1,23}\cdot {10}^{-7}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ T}$.