Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Dos hilos rectilíneos indefinidos, paralelos al eje y, están respectivamente situados en $x=-\mathrm{0,1}\mathrm{m}$ y $x=\mathrm{0,1}\mathrm{m}$. El primero de ellos conduce una corriente de $10\mathrm{A}$ en el sentido positivo del eje y. Si un electrón viaja en línea recta con velocidad $\vec{v}=2\cdot {10}^6\widehat{j}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ a lo largo de $x=\mathrm{0,4}\mathrm{m}$ sin desviarse, calcule:

a) La intensidad de corriente en el segundo hilo, especificando su sentido.

b) La fuerza que experimentará un electrón que pasara por el origen de coordenadas con velocidad $\vec{v}=2\cdot {10}^6\widehat{j}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

Datos: Permeabilidad magnética del vacío, ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{A}}^{-1}$; Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$.

$\mathbf{\text{B.3}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}$ Dos hilos rectilíneos indefinidos, paralelos al eje $y$, se sitúan en $x=-\mathrm{0,1}\mathrm{m}$ y $x=\mathrm{0,1}\mathrm{m}$. El primero conduce una corriente $I_1=10\mathrm{A}$ en el sentido $+y$. Un electrón viaja en línea recta, sin desviarse, con a lo largo de la recta $x=\mathrm{0,4}\mathrm{m}$.

Antes de empezar, conviene recordar dos resultados básicos. El campo magnético creado por un hilo rectilíneo indefinido que transporta una corriente $I$, a una distancia $d$ del hilo, tiene módulo

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi d}}$

y sus líneas de campo son circunferencias que rodean al hilo, con el sentido dado por la regla de la mano derecha (pulgar en el sentido de la corriente, dedos en el sentido de ). Además, sobre una carga $q$ que se mueve con velocidad actúa la fuerza magnética de Lorentz



La situación, vista desde el eje $+y$ (plano $xz$), es la siguiente: el hilo 1 lleva corriente saliente $(\odot )$ y el hilo 2, como veremos, entrante $(\otimes )$.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{hilo,}}\mathbf{\text{especificando}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{sentido.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El electrón se mueve en línea recta y sin desviarse a lo largo de $x=\mathrm{0,4}\mathrm{m}$. Como su velocidad no es nula, la única forma de que la fuerza magnética sobre él sea cero en esa recta es que el campo magnético total creado por los dos hilos se anule allí:



Por tanto, en ese punto los campos de ambos hilos deben tener igual módulo y sentidos opuestos. El punto $x=\mathrm{0,4}\mathrm{m}$ está a la derecha de los dos hilos. El hilo 1 (corriente $+y$) crea allí un campo en el sentido $-z$ (regla de la mano derecha). Para que el campo del hilo 2 sea opuesto $(+z)$ en ese mismo punto situado a su derecha, el hilo 2 debe conducir la corriente en sentido contrario, es decir, en el sentido $-y$ (eje $y$ decreciente).

Las distancias de cada hilo a la recta $x=\mathrm{0,4}\mathrm{m}$ son:

$d_1=\mathrm{0,4}-(-\mathrm{0,1})=\mathrm{0,5}\mathrm{m}{d}_2=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,3}\mathrm{m}$

Imponemos la igualdad de los módulos de ambos campos:

${\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi d_1}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi d_2}}⟹{\displaystyle \frac{I_1}{d_1}}={\displaystyle \frac{I_2}{d_2}}$

Despejando la intensidad del segundo hilo:

$I_2=I_1{\displaystyle \frac{d_2}{d_1}}=10\mathrm{A}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}\mathrm{m}}{\mathrm{0,5}\mathrm{m}}}=6\mathrm{A}$

Por tanto, el segundo hilo transporta una corriente de módulo

$\boxed{{\displaystyle I_2=6\mathrm{A}\text{ en el sentido }-y}}$



Calculamos primero el campo magnético total en el origen $O$. Las distancias de cada hilo al origen son iguales:

$d_1^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\mid }0-(-\mathrm{0,1})\mathrm{\mid }=\mathrm{0,1}\mathrm{m}{d}_2^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\mid }0-\mathrm{0,1}\mathrm{\mid }=\mathrm{0,1}\mathrm{m}$

Ahora el origen se encuentra entre los dos hilos. El hilo 1, con corriente $+y$, crea en el origen (situado a su derecha) un campo en el sentido $-z$. El hilo 2, con corriente $-y$, crea en el origen (situado a su izquierda) un campo también en el sentido $-z$. A diferencia del apartado anterior, aquí ambos campos apuntan en el mismo sentido y se suman.

Calculamos los módulos:

$B_1={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi d_1^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{A}}^{-1}\cdot 10\mathrm{A}}{2\pi \cdot \mathrm{0,1}\mathrm{m}}}=2\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}$

$B_2={\displaystyle \frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi d_2^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{A}}^{-1}\cdot 6\mathrm{A}}{2\pi \cdot \mathrm{0,1}\mathrm{m}}}=\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}$

El campo total en el origen, dirigido según $-z$, tiene módulo:

$B_{\text{total}}=B_1+B_2=2\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}+\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}$



Aplicamos ahora la fuerza de Lorentz sobre el electrón, cuya carga es $q=-e$:



Calculamos el producto vectorial. Con y :



donde hemos usado que . Multiplicando por la carga $-e$:



El módulo de la fuerza es:



Por tanto, el electrón que pasa por el origen experimenta una fuerza dirigida según el eje $+x$ de valor