Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Un ion de $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$ se sitúa inicialmente en reposo dentro de una región del espacio donde existe un campo eléctrico homogéneo de ${10}^3\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ que está dirigido a lo largo del eje $+x$.
a) Calcule la aceleración que experimenta el ion en el instante inicial.
b) Determine la fuerza total sobre el ion si a los $20\mu \mathrm{s}$ de ser depositado se aplica un campo magnético homogéneo de $\mathrm{0,6}\mathrm{T}$ a lo largo del eje $+y$.
Datos: Masa atómica del ion de $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$, $M_{\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}}=4\mathrm{u}$; Número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$; Valor absoluto de la carga del electrón, $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$.

Antes de empezar conviene calcular la masa de un único ion. La masa molar del $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$ es $4\mathrm{u}$, es decir, $4\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}=4\cdot {10}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$. Dividiendo entre el número de Avogadro:

$m={\displaystyle \frac{M_{\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}}}{N_A}}={\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}{\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}}}=\mathrm{6,64}\cdot {10}^{-27}\mathrm{k}\mathrm{g}$

Además, el ion $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$ ha perdido un electrón, por lo que su carga es positiva y de valor $q=+e=+\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{experimenta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ion}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{inicial.}}$

Sobre una carga $q$ situada en un campo eléctrico $\vec{E}$ actúa la fuerza eléctrica:

${\vec{F}}_E=q\vec{E}$

Como la carga es positiva, la fuerza tiene el mismo sentido que el campo, es decir, a lo largo del eje $+x$. Su módulo es:

$\mathrm{\mid }{\vec{F}}_E\mathrm{\mid }=qE=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}\cdot {10}^3\mathrm{V}\mathrm{/}\mathrm{m}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-16}\mathrm{N}$

Aplicamos la segunda ley de Newton para obtener la aceleración:

${\vec{F}}_E=m\vec{a}\Rightarrow a={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{\vec{F}}_E\mathrm{\mid }}{m}}$

Sustituyendo los valores:

$a={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-16}\mathrm{N}}{\mathrm{6,64}\cdot {10}^{-27}\mathrm{k}\mathrm{g}}}=\mathrm{2,41}\cdot {10}^{10}\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2$

La aceleración está dirigida a lo largo del eje $+x$ (sentido del campo eléctrico). Por tanto,

$\boxed{{\displaystyle \vec{a}=\mathrm{2,41}\cdot {10}^{10}\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\text{ (en sentido }+x)}}$



Durante los primeros $20\mu \mathrm{s}$ el ion parte del reposo y se mueve con aceleración constante a lo largo del eje $+x$ por acción del campo eléctrico. Su velocidad en ese instante, partiendo de $v_0=0$, es:

$v=v_0+at=at$

Sustituyendo los valores:

$v=\mathrm{2,41}\cdot {10}^{10}\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\cdot 20\cdot {10}^{-6}\mathrm{s}=\mathrm{4,82}\cdot {10}^5\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$

dirigida a lo largo del eje $+x$, es decir, $\vec{v}=\mathrm{4,82}\cdot {10}^5{\vec{u}}_x\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$.

En ese instante se aplica el campo magnético $\vec{B}=\mathrm{0,6}{\vec{u}}_y\mathrm{T}$. La fuerza magnética sobre la carga en movimiento (fuerza de Lorentz) es:

${\vec{F}}_B=q(\vec{v}\times \vec{B})$

Como $\vec{v}$ va según $+x$ y $\vec{B}$ según $+y$, el producto vectorial es:

$\vec{v}\times \vec{B}=vB({\vec{u}}_x\times {\vec{u}}_y)=vB{\vec{u}}_z$

de modo que la fuerza magnética está dirigida a lo largo del eje $+z$. Su módulo es:

$\mathrm{\mid }{\vec{F}}_B\mathrm{\mid }=qvB=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}\cdot \mathrm{4,82}\cdot {10}^5\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\cdot \mathrm{0,6}\mathrm{T}=\mathrm{4,62}\cdot {10}^{-14}\mathrm{N}$

El campo eléctrico no se ha retirado, por lo que la fuerza eléctrica sigue actuando a lo largo del eje $+x$ con el valor del apartado anterior, $\mathrm{\mid }{\vec{F}}_E\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-16}\mathrm{N}$. La fuerza total es la suma vectorial de ambas, que son perpendiculares entre sí (una según $+x$ y la otra según $+z$):

$\vec{F}={\vec{F}}_E+{\vec{F}}_B=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-16}{\vec{u}}_x+\mathrm{4,62}\cdot {10}^{-14}{\vec{u}}_z(\mathrm{N})$

Su módulo, por el teorema de Pitágoras, es:

$\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }=\sqrt{\mathrm{\mid }{\vec{F}}_E{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }{\vec{F}}_B{\mathrm{\mid }}^2}=\sqrt{(\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-16}{)}^2+(\mathrm{4,62}\cdot {10}^{-14}{)}^2}\mathrm{N}$

$\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }=\mathrm{4,62}\cdot {10}^{-14}\mathrm{N}$

Obsérvese que la fuerza magnética es unas $289$ veces mayor que la eléctrica, por lo que el módulo de la fuerza total coincide prácticamente con el de la fuerza magnética. Por tanto,

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }\approx \mathrm{4,62}\cdot {10}^{-14}\mathrm{N}}}$

dirigida casi exactamente a lo largo del eje $+z$ (forma un ángulo de apenas ${\mathrm{0,2}}^{\circ }$ respecto a dicho eje).

En el esquema siguiente se representa la disposición de la velocidad, el campo magnético y las fuerzas en ese instante.