Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B5
Sean $A$ y $B$ sucesos aleatorios independientes, siendo sus probabilidades $P(A)=0{,}7$ y $P(B)=0{,}1$, y sean $\overline{A}$ y $\overline{B}$ los sucesos complementarios de $A$ y $B$ respectivamente. Calcula las siguientes probabilidades razonadamente, e indica claramente el proceso o ley aplicada:

(a) (0,5 p) $P(A\cup B)$,
(b) (0,5 p) $P(\overline{A}\cup\overline{B})$,
(c) (0,5 p) $P(\overline{A}\cap\overline{B})$,
(d) (0,5 p) $P(A\cap\overline{B})$,
(e) (0,5 p) $P(\overline{A}\mid\overline{B})$.

Todo el ejercicio descansa en una sola propiedad: al ser $A$ y $B$ independientes, la probabilidad de que ocurran los dos a la vez es el producto de sus probabilidades.

$P(A\cap B)=P(A)\,P(B)=0{,}7\cdot0{,}1=0{,}07$

$\textbf{(a) (0,5 p) Calcula } \boldsymbol{P(A\cup B)}$

Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión, que descuenta la intersección para no contarla dos veces.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$=0{,}7+0{,}1-0{,}07=0{,}73$

$\textbf{(b) (0,5 p) Calcula } \boldsymbol{P(\overline{A}\cup\overline{B})}$

Por las leyes de De Morgan, la unión de los contrarios es el contrario de la intersección.

$P(\overline{A}\cup\overline{B})=P(\overline{A\cap B})=1-P(A\cap B)$

$=1-0{,}07=0{,}93$

$\textbf{(c) (0,5 p) Calcula } \boldsymbol{P(\overline{A}\cap\overline{B})}$

De nuevo por las leyes de De Morgan, ahora la intersección de los contrarios es el contrario de la unión, que ya conocemos por el apartado (a).

$P(\overline{A}\cap\overline{B})=P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)$

$=1-0{,}73=0{,}27$

$\textbf{(d) (0,5 p) Calcula } \boldsymbol{P(A\cap\overline{B})}$

El suceso $A$ se descompone en dos partes incompatibles: la que va acompañada de $B$ y la que no.

$P(A)=P\left((A\cap B)\cup(A\cap\overline{B})\right)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})$

$P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0{,}7-0{,}07=0{,}63$

Se llega al mismo valor observando que, si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A$ y $\overline{B}$:

$P(A\cap\overline{B})=P(A)\,P(\overline{B})=0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$

$\textbf{(e) (0,5 p) Calcula } \boldsymbol{P(\overline{A}\,|\,\overline{B})}$

Partimos de la definición de probabilidad condicionada y usamos el resultado del apartado (c).

$P(\overline{A}\,|\,\overline{B})=\dfrac{P(\overline{A}\cap\overline{B})}{P(\overline{B})}=\dfrac{0{,}27}{0{,}9}=0{,}3$

El resultado coincide con $P(\overline{A})=1-0{,}7=0{,}3$, lo cual era de esperar: si dos sucesos son independientes, también lo son sus contrarios, y saber que no ha ocurrido $B$ no aporta ninguna información sobre $A$.