Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas II · 2020

Ejercicio B5
En un instituto el 40 por ciento de sus alumnos tiene el cabello castaño, el 35 por ciento tiene los ojos azules y el 15 por ciento tiene el cabello castaño y los ojos azules. Se escoge una persona al azar:

a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cúal es la probabilidad de que tenga los ojos azules?
b) Si tiene los ojos azules, ¿cúal es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño?
c) ¿Cúal es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño ni los ojos azules?
d) ¿Cúal es la probabilidad de que tenga el cabello castaño o los ojos azules?

Llamamos $C$ al suceso «tener el cabello castaño» y $A$ al suceso «tener los ojos azules». Los datos del enunciado son porcentajes sobre el total, así que conviene organizarlos en una tabla de contingencia sobre 100 alumnos y completarla por diferencias.

$$	$A$	$\overline{A}$	Total $C$	15	25	40 $\overline{C}$	20	40	60 Total	35	65	100

Las casillas salen así: de los $40$ de cabello castaño, $15$ tienen los ojos azules, luego $25$ no; de los $35$ de ojos azules, $15$ tienen el cabello castaño, luego $20$ no; y el resto se completa por filas y columnas.

$P(C)=0{,}40,\qquad P(A)=0{,}35,\qquad P(C\cap A)=0{,}15$

$\textbf{a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga los ojos azules?}$

Es una probabilidad condicionada: el dato restringe el conjunto de referencia a los de cabello castaño.

$P(A|C)=\dfrac{P(C\cap A)}{P(C)}=\dfrac{0{,}15}{0{,}40}=\dfrac{15}{40}=0{,}375$

$\textbf{b) Si tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño?}$

Ahora el conjunto de referencia son los de ojos azules, de los que $20$ de cada $35$ no tienen el cabello castaño.

$P(\overline{C}|A)=\dfrac{P(\overline{C}\cap A)}{P(A)}=\dfrac{0{,}20}{0{,}35}=\dfrac{20}{35}=\dfrac47\approx0{,}571$

$\textbf{d) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el cabello castaño o los ojos azules?}$

Aplicamos la fórmula de la unión, que descuenta la intersección para no contarla dos veces.

$P(C\cup A)=P(C)+P(A)-P(C\cap A)$

$=0{,}40+0{,}35-0{,}15=0{,}60$

$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño ni los ojos azules?}$

Por las leyes de De Morgan, ese suceso es el contrario del anterior; en la tabla corresponde a la casilla de los $40$ alumnos que no están en ninguno de los dos grupos.

$P(\overline{C}\cap\overline{A})=P(\overline{C\cup A})=1-P(C\cup A)$

$=1-0{,}60=0{,}40$

Un $40\%$ de los alumnos no tiene el cabello castaño ni los ojos azules, lo que concuerda con la casilla correspondiente de la tabla.