Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas II · 2025

En un colegio se ofrecen solo atletismo y baloncesto como actividades deportivas extraescolares. En base a los datos de otros años, los docentes determinan que la probabilidad de que un alumno se matricule en atletismo es $P(A) = 0{,}40$; y que la probabilidad de que un estudiante se matricule en baloncesto es $P(B) = 0{,}65$. Además, solo un 10 % del alumnado no se matricula en ningún deporte. [2,5 puntos]

a) Calcule la probabilidad de que un alumno se matricule en los dos deportes. [1 punto]

b) Calcule las siguientes probabilidades: $P(A/B)$, $P(B/A)$ y $P(A/B^{c})$, donde $B^{c}$ representa el suceso contrario a $B$. [1,5 puntos]

Llamamos $A$ al suceso «el alumno se matricula en atletismo» y $B$ al suceso «el alumno se matricula en baloncesto». El enunciado da las dos probabilidades simples y, en el $10\%$ que no se matricula en nada, la del suceso contrario de la unión.

$P(A)=0{,}40,\qquad P(B)=0{,}65,\qquad P(A^{c}\cap B^{c})=0{,}10$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un alumno se matricule en los dos deportes. [1 punto]}$

Por las leyes de De Morgan, el suceso «no se matricula en ninguno de los dos» es el contrario de la unión, de modo que la probabilidad de la unión se conoce y basta despejar la intersección en la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=1-P(A^{c}\cap B^{c})=1-0{,}10=0{,}90$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$0{,}90=0{,}40+0{,}65-P(A\cap B)$

$P(A\cap B)=1{,}05-0{,}90=0{,}15$



La probabilidad de que un alumno se matricule en los dos deportes es $0{,}15$, es decir, un $15\%$ del alumnado.

$\textbf{b) Calcule las siguientes probabilidades: }\boldsymbol{P(A/B)}\textbf{, }\boldsymbol{P(B/A)}\textbf{ y }\boldsymbol{P(A/B^{c})}\textbf{, donde }\boldsymbol{B^{c}}\textbf{ representa el suceso contrario a }\boldsymbol{B}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Las tres son probabilidades condicionadas, así que aplicamos la definición dividiendo la probabilidad de la intersección entre la del suceso que condiciona. Las dos primeras usan directamente el resultado del apartado anterior.

$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}15}{0{,}65}=\dfrac{3}{13}\approx0{,}2308$

$P(B/A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{0{,}15}{0{,}40}=\dfrac{3}{8}=0{,}375$

Para la tercera necesitamos el trozo de $A$ que queda fuera de $B$, que es el que se lee en el diagrama a la izquierda de la intersección.

$P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B)=0{,}40-0{,}15=0{,}25$

$P(B^{c})=1-P(B)=1-0{,}65=0{,}35$

$P(A/B^{c})=\dfrac{P(A\cap B^{c})}{P(B^{c})}=\dfrac{0{,}25}{0{,}35}=\dfrac{5}{7}\approx0{,}7143$

Entre los que hacen baloncesto, la probabilidad de hacer también atletismo es $0{,}2308$; entre los que hacen atletismo, la de hacer también baloncesto es $0{,}375$; y entre los que no hacen baloncesto, la de hacer atletismo sube hasta $0{,}7143$. Los dos sucesos no son independientes: $P(A/B)\neq P(A)$.