Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2021

B4.- Efecto fotoeléctrico. Descripción. Explicación cuántica. Teoría de Einstein. Frecuencia umbral. Trabajo de extracción.

$\mathbf{\text{Efecto}}\mathbf{\text{fotoel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico.}}\mathbf{\text{Descripci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se llama efecto fotoeléctrico a la emisión de electrones por la superficie de un metal cuando sobre ella incide radiación electromagnética. Los electrones arrancados reciben el nombre de fotoelectrones, y su emisión se detecta porque establecen una corriente entre el metal iluminado, que hace de cátodo, y un ánodo colector.

La experiencia arroja cuatro resultados que conviene retener:

i) Para cada metal existe una frecuencia mínima de la radiación por debajo de la cual no hay emisión, por intensa que sea la luz y por mucho tiempo que se ilumine.

ii) Por encima de esa frecuencia la emisión es instantánea, sin ningún retraso apreciable.

iii) La energía cinética máxima de los fotoelectrones crece linealmente con la frecuencia de la luz y no depende de su intensidad.

iv) El número de electrones emitidos por unidad de tiempo sí es proporcional a la intensidad de la luz.

$\mathbf{\text{Explicaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntica.}}\mathbf{\text{Teor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Einstein.}}$

La física clásica, que trata la luz como una onda continua, no explica ninguno de los tres primeros hechos: si la energía llegase de forma continua, cualquier frecuencia serviría con tal de iluminar el tiempo suficiente, habría un retraso hasta acumular la energía necesaria y la energía de los electrones dependería de la intensidad.

Einstein resolvió la contradicción en 1905 extendiendo a la luz la hipótesis de los cuantos de Planck: la radiación de frecuencia $\nu$ está formada por corpúsculos, llamados fotones, cada uno de los cuales transporta una energía

$E=h\nu$

siendo $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$ la constante de Planck. La interacción es individual: cada fotón cede toda su energía a un solo electrón, en un único acto, y no hay acumulación posible. Aumentar la intensidad de la luz significa enviar más fotones, no fotones más energéticos, lo que explica de inmediato los cuatro hechos experimentales.

$\mathbf{\text{Trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Frecuencia}}\mathbf{\text{umbral.}}$

El electrón está ligado al metal, de modo que necesita una energía mínima para escapar de su superficie. Esa energía se denomina trabajo de extracción, $W_0$, y es una propiedad característica de cada metal; depende de la superficie, y por eso la oxidación o la contaminación la modifican. Se expresa habitualmente en electronvoltios y toma valores del orden de unos pocos.

El balance energético de la interacción es la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

$h\nu =W_0+E_{c,max}$

donde $E_{c,max}$ es la energía cinética máxima de los fotoelectrones, la de aquellos que estaban menos ligados; los que proceden de capas más internas salen con menos. Esa energía se mide con el potencial de frenado, la diferencia de potencial que detiene incluso a los más rápidos:

$E_{c,max}=e{V}_0$

La frecuencia umbral es la mínima capaz de producir emisión, aquella para la que el fotón tiene exactamente la energía del trabajo de extracción y no sobra nada para energía cinética:

$h{\nu }_{um}=W_0\Rightarrow {\nu }_{um}={\displaystyle \frac{W_0}{h}}$

${\lambda }_{um}={\displaystyle \frac{c}{{\nu }_{um}}}$

Combinando las dos expresiones, la ecuación de Einstein se escribe de la forma que se comprueba experimentalmente:

$E_{c,max}=h(\nu -{\nu }_{um})$

Es la ecuación de una recta cuya pendiente es la constante de Planck, universal e independiente del metal, y cuyo corte con el eje de abscisas es la frecuencia umbral, característica de cada uno. Millikan la verificó punto a punto y midió con ella el valor de $h$; la explicación del efecto fotoeléctrico valió a Einstein el premio Nobel de 1921.