Ejercicio resuelto de Cálculo de las constantes Ka y Kb · Química

A3. Se prepara una disolución acuosa de una base débil (MOH) de concentración 0,05M. Sabiendo que la base se halla disociada en un 0,10%, calcular:
$\mathrm{MOH}\,(aq)+\mathrm{H_2O}\,(l)\rightleftharpoons \mathrm{M^+}\,(aq)+\mathrm{OH^-}\,(aq)$

a) El pH de la disolución. (1,00)
b) La constante de ionización de la base (Kb). (1,00)
c) ¿Cuántos mL de $\mathrm{H_2SO_4}$ 0,1 M se necesitan para neutralizar 100 mL de la base MOH? (0,50)

$\textbf{a) El pH de la disolución. (1,00)}$

Se plantea el equilibrio de ionización de la base débil expresando las concentraciones en función de la inicial y del grado de disociación, que es el dato del enunciado.

$\mathrm{MOH}\,(aq)+\mathrm{H_2O}\,(l)\rightleftharpoons \mathrm{M^+}\,(aq)+\mathrm{OH^-}\,(aq)$

$\text{(mol/L)}$	$\mathrm{MOH}$	$\mathrm{M^+}$	$\mathrm{OH^-}$ Iniciales	$0{,}05$	$0$	$0$ En el equilibrio	$0{,}05\,(1-\alpha)$	$0{,}05\,\alpha$	$0{,}05\,\alpha$

$\alpha=0{,}10\ \%=1{,}0\cdot10^{-3}$

$[\mathrm{OH^-}]=c_0\,\alpha=0{,}05\cdot1{,}0\cdot10^{-3}=5{,}0\cdot10^{-5}\ \text{mol/L}$

$\mathrm{pOH}=-\log\left(5{,}0\cdot10^{-5}\right)=4{,}30$

$\mathrm{pH}=14-\mathrm{pOH}=14-4{,}30$

$\mathrm{pH}=9{,}70$

El pH de la disolución es de $9{,}70$, básico pero moderadamente: con un grado de disociación de solo una milésima, la base apenas libera hidróxidos.

$\textbf{b) La constante de ionización de la base (Kb). (1,00)}$

Se sustituyen en la expresión de la constante las concentraciones de equilibrio de la tabla.

$K_b=\dfrac{[\mathrm{M^+}]\,[\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{MOH}]}=\dfrac{c_0\,\alpha\cdot c_0\,\alpha}{c_0\,(1-\alpha)}=\dfrac{c_0\,\alpha^2}{1-\alpha}$

$K_b=\dfrac{0{,}05\cdot(1{,}0\cdot10^{-3})^2}{1-1{,}0\cdot10^{-3}}=\dfrac{5{,}0\cdot10^{-8}}{0{,}999}$

$K_b=5{,}0\cdot10^{-8}$

La constante de ionización de la base vale $5{,}0\cdot10^{-8}$. Es un valor muy pequeño, propio de una base bastante más débil que el amoniaco, cuya constante es del orden de $10^{-5}$. El factor $(1-\alpha)$ resulta aquí despreciable, ya que vale 0,999.

$\textbf{c) ¿Cuántos mL de }\boldsymbol{\mathrm{H_2SO_4}}\textbf{ 0,1 M se necesitan para neutralizar 100 mL de la base MOH? (0,50)}$

En el punto de neutralización los moles de protones cedidos por el ácido igualan a los de hidróxido de la base. El ácido sulfúrico es diprótico, así que cada mol suyo neutraliza dos de base.

$2\,\mathrm{MOH}+\mathrm{H_2SO_4}\rightarrow \mathrm{M_2SO_4}+2\,\mathrm{H_2O}$

$n(\mathrm{MOH})=c\cdot V=0{,}05\cdot0{,}100=5{,}0\cdot10^{-3}\ \text{mol}$

$n(\mathrm{H_2SO_4})=\dfrac{n(\mathrm{MOH})}{2}=\dfrac{5{,}0\cdot10^{-3}}{2}=2{,}5\cdot10^{-3}\ \text{mol}$

$V(\mathrm{H_2SO_4})=\dfrac{n}{c}=\dfrac{2{,}5\cdot10^{-3}}{0{,}1}=2{,}5\cdot10^{-2}\ \text{L}$

$V(\mathrm{H_2SO_4})=25\ \text{mL}$

Se necesitan $25$ mL de ácido sulfúrico 0,1 M. Que la base sea débil no afecta a este cálculo: en el punto de neutralización se consume toda ella, esté ionizada o no. El pH final, en cambio, sí será ácido, porque el catión $\mathrm{M^+}$ procede de una base débil y se hidroliza.