Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dadas las funciones $f(x)=x^3+3x^2-1$ y $g(x)=6x$, se pide:

a) (0.5 puntos) Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo $[1,10]$ en el que ambas funciones toman el mismo valor.
b) (1 punto) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ con pendiente mínima.
c) (1 punto) Calcular ${\int }_1^2\frac{f(x)}{g(x)}dx$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Justificar,}}\mathbf{\text{usando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{adecuado,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{toman}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{valor.}}$

Que las dos funciones coincidan en un punto equivale a que su diferencia se anule, así que aplicamos el teorema de Bolzano a esa diferencia.

$h(x)=f(x)-g(x)=x^3+3x^2-6x-1$

Por ser polinómica, $h$ es continua en el intervalo cerrado; basta ver que cambia de signo en los extremos.

$h(1)=1+3-6-1=-3<0$

$h(10)=1000+300-60-1=1239>0$

El teorema de Bolzano garantiza entonces que existe $c\in (1,10)$ con $h(c)=0$, es decir, con $f(c)=g(c)$.



La pendiente de la tangente en un punto es la derivada, así que buscamos dónde esa derivada alcanza su mínimo: derivamos otra vez.

$m(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+6x$

$m^{\mathrm{\prime }}(x)=6x+6=0\Rightarrow x=-1$

$m^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo}$

La pendiente mínima vale $m(-1)=3-6=-3$ y se alcanza en $x=-1$, donde la curva pasa por:

$f(-1)=-1+3-1=1$

$y=1-3(x+1)\Rightarrow y=-3x-2$



Antes de integrar simplificamos el cociente dividiendo término a término, que es lo que convierte una función racional en una suma inmediata.

${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}={\displaystyle \frac{x^3+3x^2-1}{6x}}={\displaystyle \frac{1}{6}}(x^2+3x-{\displaystyle \frac{1}{x}})$



${\int }_1^2{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}dx={\displaystyle \frac{1}{6}}{[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-\ln x]}_1^2$

Aplicamos la regla de Barrow.

$={\displaystyle \frac{1}{6}}[({\displaystyle \frac{8}{3}}+6-\ln 2)-({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{2}})]={\displaystyle \frac{1}{6}}({\displaystyle \frac{41}{6}}-\ln 2)$

$={\displaystyle \frac{41}{36}}-{\displaystyle \frac{\ln 2}{6}}=\mathrm{1,0234}$