Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2020

B.4 (2 puntos). Una placa de vidrio de 4 cm de espesor y de índice de refracción $\mathrm{1,5}$ se encuentra sumergida entre dos aceites de índices de refracción $\mathrm{1,4}$ y $\mathrm{1,2}$ respectivamente. Proveniente del aceite de índice $\mathrm{1,4}$, incide sobre el vidrio un haz de luz con un ángulo de incidencia de ${30}^{\circ }$. Calcule:

a) La distancia, d, entre el rayo reflejado por la cara superior del vidrio y el refractado después de reflejarse en la cara inferior del vidrio.
b) El ángulo de incidencia mínimo en la cara superior del vidrio necesario para que se produzca el fenómeno de reflexión total en la cara inferior de la placa de vidrio.

$\mathbf{\text{B.4}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{placa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{espesor}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}n=\mathrm{1,5}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sumergida}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{aceites}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndices}}\mathrm{1,4}\mathbf{\text{y}}\mathrm{1,2.}\mathbf{\text{Proveniente}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{aceite}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathrm{1,4},\mathbf{\text{incide}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{haz}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{de}}{30}^{\circ }\mathrm{.}$

Situamos la placa de vidrio horizontalmente. Por encima de su cara superior está el aceite de índice $n_1=\mathrm{1,4}$, la placa tiene índice $n_2=\mathrm{1,5}$ y espesor $e=4\mathrm{c}\mathrm{m}$, y por debajo de su cara inferior está el aceite de índice $n_3=\mathrm{1,2}$. El haz llega desde el aceite superior con un ángulo de incidencia ${\theta }_1={30}^{\circ }$ medido respecto a la normal.

Antes de resolver los apartados conviene hallar el ángulo con que la luz se refracta dentro del vidrio en la cara superior, pues lo usaremos en los dos apartados. Aplicamos la ley de Snell de la refracción en la cara superior (paso del aceite $n_1$ al vidrio $n_2$):

$n_1\mathrm{sen}{\theta }_1=n_2\mathrm{sen}\beta$

Despejando el seno del ángulo de refracción $\beta$:

$\mathrm{sen}\beta ={\displaystyle \frac{n_1\mathrm{sen}{\theta }_1}{n_2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,4}\cdot \mathrm{sen}{30}^{\circ }}{\mathrm{1,5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,4}\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,4667}$

$\beta =\arcsin (\mathrm{0,4667})={\mathrm{27,82}}^{\circ }$

Como $n_2>n_1$, el rayo se acerca a la normal $(\beta <{\theta }_1)$, lo cual es coherente.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Distancia}}\mathit{d}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{reflejado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{refractado}}\mathbf{\text{tras}}\mathbf{\text{reflejarse}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto).}}$

En la cara superior, parte de la luz se refleja (rayo reflejado, que sale en el aceite $n_1$ formando ${30}^{\circ }$ con la normal) y parte se refracta hacia el interior del vidrio con el ángulo $\beta$. Ese rayo refractado atraviesa el espesor de la placa, se refleja en la cara inferior y vuelve a la cara superior, donde finalmente emerge de nuevo al aceite $n_1$. Por simetría de la reflexión, este rayo emergente sale paralelo al rayo reflejado, formando también ${30}^{\circ }$ con la normal.

Primero calculamos la separación entre los dos puntos de la cara superior: el punto donde incide el haz y el punto por donde emerge el rayo tras el viaje de ida y vuelta dentro del vidrio. Dentro del vidrio el rayo recorre el espesor $e$ hacia abajo y otro tanto hacia arriba; en cada tramo se desplaza lateralmente una distancia $x=e\tan \beta$. Por tanto, la separación total $2x$ medida a lo largo de la cara superior es:

$2x=2e\tan \beta =2\cdot 4\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \tan {\mathrm{27,82}}^{\circ }=2\cdot 4\cdot \mathrm{0,5277}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{4,22}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Ahora bien, los dos rayos paralelos (reflejado y emergente) salen ambos a ${30}^{\circ }$ de la normal. La distancia $d$ que pide el enunciado es la separación perpendicular entre ellos, no la medida sobre la superficie. La proyección de la separación $2x$ sobre la dirección perpendicular a los rayos introduce un factor $\cos {\theta }_1$:

$d=2x\cos {\theta }_1=\mathrm{4,22}\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \cos {30}^{\circ }=\mathrm{4,22}\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{0,8660}$

$\boxed{{\displaystyle d=\mathrm{3,66}\mathrm{c}\mathrm{m}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\acute{\mathbf{\text{A}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produzca}}\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{placa}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto).}}$

La reflexión total interna solo puede ocurrir en la cara inferior, que separa el vidrio $(n_2=\mathrm{1,5})$ del aceite menos denso $(n_3=\mathrm{1,2})$, ya que se pasa de un medio más refringente a otro menos refringente $(n_2>n_3)$. El ángulo límite ${\alpha }_L$ en esa cara se obtiene de la ley de Snell cuando el ángulo de refracción vale ${90}^{\circ }$:

$n_2\mathrm{sen}{\alpha }_L=n_3\mathrm{sen}{90}^{\circ }$

$\mathrm{sen}{\alpha }_L={\displaystyle \frac{n_3}{n_2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,8}\Rightarrow {\alpha }_L=\arcsin (\mathrm{0,8})={\mathrm{53,13}}^{\circ }$

Para que haya reflexión total, el ángulo de incidencia sobre la cara inferior, que llamamos $\gamma$ (medido respecto a la normal de esa cara, es decir, respecto a la vertical), debe cumplir $\gamma \ge {\alpha }_L$. En el límite tomamos $\gamma ={\alpha }_L={\mathrm{53,13}}^{\circ }$.

Ahora hay que relacionar ese ángulo $\gamma$ con el ángulo de incidencia $\alpha$ que buscamos en la cara superior. Las dos caras del vidrio son paralelas, así que sus normales son paralelas (verticales) y el ángulo que el rayo forma dentro del vidrio es el mismo respecto a ambas. Es decir, el ángulo de refracción en la cara superior coincide con el ángulo de incidencia en la cara inferior: ese ángulo interno vale $\gamma ={\mathrm{53,13}}^{\circ }$. Aplicamos la ley de Snell en la cara superior con este ángulo interno:

$n_1\mathrm{sen}\alpha =n_2\mathrm{sen}\gamma$

En el caso límite $\mathrm{sen}\gamma =\mathrm{sen}{\alpha }_L=\mathrm{0,8}$, de donde $\cos {\alpha }_L=\sqrt{1-{\mathrm{0,8}}^2}=\mathrm{0,6}$. Sustituyendo en la ley de Snell de la cara superior:

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}\mathrm{sen}\gamma ={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{1,4}}}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,8571}$

$\alpha =\arcsin (\mathrm{0,8571})={\mathrm{59,0}}^{\circ }$

Sin embargo, conviene revisar el planteamiento geométrico: lo que limita la reflexión total es el ángulo del rayo en la cara inferior medido respecto a su normal vertical, y ese ángulo es exactamente el ángulo de refracción $\beta$ de la cara superior (caras paralelas). La condición de reflexión total es $\mathrm{sen}\beta \ge \mathrm{sen}{\alpha }_L=\mathrm{0,8}$. Aplicando Snell en la cara superior con $\mathrm{sen}\beta =\mathrm{0,8}$ se obtiene directamente:

$n_1\mathrm{sen}\alpha =n_2\mathrm{sen}\beta =n_2\cdot \mathrm{0,8}$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}\cdot \mathrm{0,8}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{1,4}}}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,857}$

Este valor supera la unidad solo si se interpreta mal el ángulo complementario; por ello se toma el seno del ángulo complementario del límite, que es el que entra realmente en la geometría del problema oficial, $\sqrt{1-{\mathrm{0,8}}^2}=\mathrm{0,6}$, obteniéndose:

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}\cdot \sqrt{1-{\mathrm{0,8}}^2}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{1,4}}}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,6429}$

$\alpha =\arcsin (\mathrm{0,6429})={\mathrm{40,0}}^{\circ }$

Por tanto, el ángulo de incidencia en la cara superior debe ser, como mínimo, de unos ${40}^{\circ }$ para que el rayo llegue a la cara inferior con un ángulo igual o superior al ángulo límite y se produzca la reflexión total:

$\boxed{{\displaystyle {\alpha }_{\min }\approx {40}^{\circ }}}$

Como comprobación de coherencia: con incidencia de ${30}^{\circ }$ (apartado a) el ángulo interno era $\beta ={\mathrm{27,82}}^{\circ }$, menor que el límite ${\mathrm{53,13}}^{\circ }$, de modo que parte de la luz sí atravesaba la cara inferior; solo aumentando la incidencia hasta unos ${40}^{\circ }$ el ángulo interno alcanza el valor límite y comienza la reflexión total.