Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2020

B.4 (2 puntos). Determine las posiciones donde debe colocarse un objeto real situado a la izquierda de una lente convergente de potencia $\mathrm{2,5}$ dioptrías para que el tamaño de la imagen formada por la lente sea:

a) Derecha y el doble que el tamaño del objeto.
b) Invertida y la mitad del tamaño del objeto. Indique, en cada caso, la naturaleza de la imagen y realice el trazado de rayos correspondiente.

$\mathbf{\text{B.4}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{posiciones}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{colocarse}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{real}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{potencia}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">2,5</mn>}\mathbf{\text{dioptr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{formada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{sea:}}\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto;}}\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{invertida}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{naturaleza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos.}}$

Trabajamos con el convenio de signos DGUV: la luz viaja de izquierda a derecha, las distancias se miden desde el centro óptico de la lente, son positivas hacia la derecha y negativas hacia la izquierda. Para un objeto real situado a la izquierda, la distancia objeto es negativa $(s<0)$.

La distancia focal imagen se obtiene de la potencia de la lente:

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{P}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,5}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{r}\acute{\mathrm{ı}}\mathrm{a}\mathrm{s}}}=\mathrm{0,40}\mathrm{m}=40\mathrm{c}\mathrm{m}$

Al ser $f^{\mathrm{\prime }}>0$ la lente es convergente, como indica el enunciado.

Usaremos la ecuación de las lentes delgadas y la expresión del aumento lateral:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

$M_L={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Imagen}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{(derecha)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto).}}$

Que la imagen sea derecha (mismo sentido que el objeto) y de tamaño doble significa que el aumento lateral es positivo y vale $+2$:

$M_L={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=+2\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=2s$

Sustituimos esta relación en la ecuación de las lentes:

${\displaystyle \frac{1}{2s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

${\displaystyle \frac{1-2}{2s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{1}{2s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Despejando $s$:

$s=-{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}}{2}}=-{\displaystyle \frac{40\mathrm{c}\mathrm{m}}{2}}=-20\mathrm{c}\mathrm{m}$

El objeto debe colocarse a $20\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la izquierda de la lente, es decir, entre el foco objeto y la lente $(\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }<f^{\mathrm{\prime }})$. La distancia imagen es:

$s^{\mathrm{\prime }}=2s=2\cdot (-20\mathrm{c}\mathrm{m})=-40\mathrm{c}\mathrm{m}$

Comprobamos el aumento: $M_L={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-40}{-20}}=+2$. Correcto.

$\boxed{{\displaystyle s=-20\mathrm{c}\mathrm{m},s^{\mathrm{\prime }}=-40\mathrm{c}\mathrm{m},M_L=+2}}$

Naturaleza de la imagen: como $s^{\mathrm{\prime }}<0$, la imagen se forma a la izquierda de la lente (en el mismo lado que el objeto) y no puede recogerse en una pantalla; por tanto es una imagen virtual, derecha y de tamaño doble (mayor que el objeto). Esta lente convergente actúa como una lupa.

$\text{Trazado de rayos del apartado a): }$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Imagen}}\mathbf{\text{invertida}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto).}}$

Que la imagen sea invertida (sentido contrario al del objeto) y de tamaño mitad significa que el aumento lateral es negativo y vale $-\frac{1}{2}$:

$M_L={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{s}{2}}$

Sustituimos en la ecuación de las lentes:

${\displaystyle \frac{1}{-{\displaystyle \frac{s}{2}}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

$-{\displaystyle \frac{2}{s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{3}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Despejando $s$:

$s=-3f^{\mathrm{\prime }}=-3\cdot 40\mathrm{c}\mathrm{m}=-120\mathrm{c}\mathrm{m}$

El objeto debe colocarse a $120\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la izquierda de la lente, más allá del doble de la distancia focal $(\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }>2f^{\mathrm{\prime }})$. La distancia imagen es:

$s^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{s}{2}}=-{\displaystyle \frac{-120\mathrm{c}\mathrm{m}}{2}}=+60\mathrm{c}\mathrm{m}$

Comprobamos el aumento: $M_L={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{+60}{-120}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Correcto.

$\boxed{{\displaystyle s=-120\mathrm{c}\mathrm{m},s^{\mathrm{\prime }}=+60\mathrm{c}\mathrm{m},M_L=-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

Naturaleza de la imagen: como $s^{\mathrm{\prime }}>0$, la imagen se forma a la derecha de la lente (en el lado opuesto al objeto) y puede recogerse en una pantalla; por tanto es una imagen real, invertida y de tamaño la mitad que el objeto (menor que el objeto).

$\text{Trazado de rayos del apartado b): }$