Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

B) PRUEBA PRÁCTICA (5 puntos)

1) Una empresa dedicada a la fabricación de muebles vende sus productos a un precio de 80 euros la unidad. Sus costes totales de producción (CT) para diferentes cantidades de fabricación (q) vienen dados por la siguiente tabla.

q	0	15	30	45	60	75	90	105 CT	3000	3300	3600	3900	4200	4500	4800	5100

a) Calcula los costes fijos de la empresa y el coste variable unitario. (0,5 puntos)

b) Calcula el umbral de rentabilidad y representa gráficamente las zonas de pérdidas y ganancias. (0,5 puntos).

c) Analiza el gráfico anterior explicando las razones de la existencia de zonas de pérdidas y ganancias (0,5 puntos).

d) Calcula la productividad de la empresa para 15, 45 y 75 unidades de producción. (0,5 puntos)

e) ¿A qué se debe la variación en la productividad? (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{fijos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{unitario.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los costes fijos son los que la empresa soporta aunque no fabrique nada, de modo que se leen directamente en la tabla para $q=0$:

$CF=3.000$

El coste variable unitario es lo que crece el coste total por cada unidad más fabricada. Entre dos niveles consecutivos la cantidad aumenta en 15 unidades y el coste total en 300 €:

$C{V}_u={\displaystyle \frac{3.300-3.000}{15-0}}={\displaystyle \frac{300}{15}}=20$

El incremento es el mismo en todos los tramos, lo que confirma que el coste variable unitario es constante y que la función de costes totales es $CT=3.000+20q$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{zonas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ganancias.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos).}}$

El umbral de rentabilidad es el número de muebles que hay que vender para que los ingresos igualen a los costes totales:

$q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{p-C{V}_u}}={\displaystyle \frac{3.000}{80-20}}={\displaystyle \frac{3.000}{60}}=50$

La empresa cubre todos sus costes vendiendo 50 muebles. Se comprueba: con esa cantidad los ingresos son $50\cdot 80=4.000$ euros y los costes $3.000+20\cdot 50=4.000$ euros.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Analiza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fico}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{explicando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{razones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{existencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{zonas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ganancias}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos).}}$

En el gráfico aparecen tres líneas. El ingreso total, $IT=80q$, es una recta que pasa por el origen: si no se vende nada no se ingresa nada. El coste total, $CT=3.000+20q$, arranca en 3.000 € aunque la producción sea nula, porque los costes fijos existen igualmente, y crece 20 € por cada mueble. La tercera línea es el propio coste fijo, horizontal.

La razón de que existan dos zonas está en la distinta pendiente de las dos primeras rectas. El ingreso crece a razón de 80 € por unidad y el coste total, solo a 20 €, de modo que el ingreso crece más deprisa; pero parte de más abajo, de cero frente a 3.000 €. Al principio, por tanto, los costes van por delante: cada mueble vendido aporta un margen de contribución de 60 € que sirve para ir cubriendo los costes fijos, pero mientras la suma de esos márgenes no alcance los 3.000 €, la empresa pierde dinero. Esa es la zona de pérdidas, a la izquierda del corte.

En el punto de corte, con 50 muebles, los márgenes acumulados igualan exactamente los costes fijos y el beneficio es cero. A partir de ahí los costes fijos ya están cubiertos y los 60 € de margen de cada mueble adicional son beneficio limpio: es la zona de ganancias, a la derecha del corte, y el beneficio crece de forma proporcional a lo que se venda por encima del umbral.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{productividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{15,}}\mathbf{\text{45}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{75}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Con los datos disponibles, la productividad global se mide comparando el valor de la producción con el coste total de los factores empleados:

$P={\displaystyle \frac{p\cdot q}{CT}}$

Para 15 unidades:

$P_{15}={\displaystyle \frac{80\cdot 15}{3.300}}={\displaystyle \frac{1.200}{3.300}}=\mathrm{0,36}$

Para 45 unidades:

$P_{45}={\displaystyle \frac{80\cdot 45}{3.900}}={\displaystyle \frac{3.600}{3.900}}=\mathrm{0,92}$

Para 75 unidades:

$P_{75}={\displaystyle \frac{80\cdot 75}{4.500}}={\displaystyle \frac{6.000}{4.500}}=\mathrm{1,33}$

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{variaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{productividad?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La productividad crece con el nivel de producción, y la razón es el reparto de los costes fijos entre más unidades. El coste variable unitario no cambia, siempre son 20 € por mueble, pero el coste fijo medio sí disminuye: con 15 unidades cada mueble carga con $3.000\mathrm{/}15=200$ euros de costes fijos, con 45 unidades con 66,67 € y con 75 unidades con solo 40 €. El coste total medio pasa así de 220 € a 86,67 € y a 60 €, mientras el precio sigue siendo 80 €.

Es el fenómeno de las economías de escala: al aumentar el volumen, la empresa aprovecha mejor una estructura que ya tiene pagada. Obsérvese además que la productividad vale exactamente 1 en el umbral de rentabilidad, con 50 unidades, porque es justo el punto en el que el valor de la producción iguala al coste total. Por debajo de ese nivel la productividad es menor que la unidad y la empresa pierde dinero; por encima es mayor que uno y gana. Conviene advertir, por último, que este comportamiento solo se mantiene mientras la capacidad instalada lo permita: si para producir más hubiera que ampliar la nave o comprar maquinaria, los costes fijos subirían y la productividad volvería a caer.