Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Por último Doña Ana Motín nos pide que revisemos la información acerca de los siguientes proyectos y asesoremos sobre ellos de acuerdo a los siguientes datos.

La empresa MAGICMIRROR, S.L. especializada en estética femenina, ha obtenido en 2025 unos ingresos de 600.000 euros por la realización de 10.000 sesiones. En la realización del total de las sesiones se han producido unos costes fijos de 120.000 euros, siendo los costes variables unitarios de 12 euros por sesión.

Se pide:

a) Calcule y represente gráficamente el punto muerto o umbral de rentabilidad. [1,25 puntos]

b) La empresa MAGICMIRROR, S.L. quiere saber si obtendrá beneficios o pérdidas al realizar 13.000 sesiones. Antes de realizar el cálculo, ¿podría decir si serán beneficios o pérdidas, según los resultados del apartado "a"?, ¿por qué? Finalmente, realice las operaciones para obtener la cifra exacta de beneficios o pérdidas. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rentabilidad.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El punto muerto o umbral de rentabilidad es el número de unidades que hay que vender para que los ingresos totales igualen a los costes totales y el beneficio sea nulo:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{CF}{P-C{V}_u}}$

El precio se obtiene de los ingresos de 2025 y del número de sesiones realizadas:

$P={\displaystyle \frac{600.000}{10.000}}=60$

Cada sesión se factura a 60 € y cuesta 12 € de coste variable, de modo que aporta 48 € de margen para cubrir los 120.000 € de costes fijos:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{120.000}{60-12}}={\displaystyle \frac{120.000}{48}}=2.500$

MAGICMIRROR, S.L. cubre todos sus costes realizando 2.500 sesiones, equivalentes a 150.000 € de ingresos.

En el gráfico, la cantidad de sesiones se lleva al eje horizontal y los euros al vertical. La recta de ingresos totales, $IT=60Q$, parte del origen; la de costes fijos es horizontal a la altura de 120.000 €; y la de costes totales, $CT=120.000+12Q$, arranca en ese mismo punto y crece con menor pendiente que la de ingresos. Su corte, en 2.500 sesiones, separa la zona de pérdidas, a la izquierda, de la de beneficios, a la derecha.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{MAGICMIRROR,}}\mathbf{\text{S.L.}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{saber}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{obtendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{13.000}}\mathbf{\text{sesiones.}}\mathbf{\text{Antes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculo,}}\mathbf{\text{¿podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{decir}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{"a"?,}}\mathbf{\text{¿por}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{Finalmente,}}\mathbf{\text{realice}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{operaciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cifra}}\mathbf{\text{exacta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sí puede anticiparse la respuesta sin hacer ninguna cuenta: serán beneficios. La razón es que 13.000 sesiones están muy por encima de las 2.500 del umbral de rentabilidad, y a la derecha del punto muerto la recta de ingresos queda por encima de la de costes totales. Cada sesión realizada por encima de 2.500 aporta 48 € íntegros de beneficio, porque los costes fijos ya están cubiertos y solo hay que descontar su propio coste variable.

Hecho el razonamiento, se calcula la cifra exacta como diferencia entre ingresos totales y costes totales:

$B=P\cdot Q-(CF+C{V}_u\cdot Q)$

$B=60\cdot 13.000-(120.000+12\cdot 13.000)$

$B=780.000-276.000=504.000$

El beneficio sería de 504.000 €.

El resultado confirma el razonamiento previo y puede comprobarse por la vía del margen: las 13.000 sesiones superan el punto muerto en 10.500, y multiplicadas por los 48 € de margen unitario dan exactamente esos 504.000 €.