Matemáticas II · Rectas y Planos · Comunidad Valenciana · 2024

Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Problema 4.

Sea el plano π:6x+4y−3z−d=0. Se pide:

a) Calcular los valores de d para que la distancia del plano al origen sea una unidad. (2 puntos)
b) Calcular, en función del parámetro d, las coordenadas de los puntos A,B y C que resultan de intersectar el plano π con los ejes de coordenadas, X,Y y Z, respectivamente. (3 puntos)
c) Para d≠0, calcular el ángulo formado por los vectores AB→ y AC→ determinados por los puntos del apartado anterior. (5 puntos)

Solución

a) Calcular los valores de d para que la distancia del plano al origen sea una unidad. (2 puntos)





Figura del ejercicio





La distancia viene dada por:

d(P,π)=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2

1=∣6⋅0+4⋅0−3⋅0−d∣62+42+32⇒1=∣−d∣61⇒d=±61





b) Calcular, en funcioˊn del paraˊmetro d, las coordenadas de los puntos A, B y C que resultan de intersectar el plano π con los ejes de coordenadas, X, Y y Z, respectivamente. (3 puntos)





Figura del ejercicio





Plano π:6x+4y−3z−d=0

Eje X:y=z=0⇒A(d6,0,0)

Eje Y:x=z=0⇒B(0,d4,0)

Eje Z:x=y=0⇒C(0,0,−d3)





c) Para d≠0, calcular el aˊngulo formado por los vectores AB→ y AC→ determinados por los puntos del apartado anterior. (5 puntos)

Vectores: AB→=(0,d4,0)−(d6,0,0)=(−d6,d4,0),∣AB→∣=d236+d216=1312d

AC→=(0,0,−d3)−(d6,0,0)=(−d6,0,−d3),∣AC→∣=d236+d29=56d

Con la definicioˊn de producto escalar:

AB→⋅AC→=∣AB→∣⋅∣AC→∣⋅cos⁡(α);

(−d6,d4,0)⋅(−d6,0,−d3)=d1312⋅d56⋅cos⁡(α)

⇒cos⁡(α)=723665=265⇒α=arccos⁡(265)≈75.64∘

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