Matemáticas II · Rectas y Planos · Comunidad Valenciana · 2024

Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Problema 3.

Se considera la recta r:x−12=y+13=z+2−1 y el plano π:3x−my+z=1. Se pide:

a) Determinar el valor del parámetro real m para que r y π sean paralelos. Obtener además los valores de m para los que el plano π contiene a la recta r. (4 puntos)
b) Para los valores m del apartado anterior, hallar un plano paralelo a π, que contenga a la recta r. (3 puntos)
c) Calcular, en función de m, la distancia entre π y el punto P=(1,−1,−2). (3 puntos)

Solución

a) Determinar el valor del paraˊmetro real m para que r y π sean paralelos. Obtener ademaˊs los valores de m para los que el plano π contiene a la recta r. (4 puntos)

r:x−12=y+13=z+2−1⇒r:{x=1+2λy=−1+3λz=−2−λ,λ∈R

Plano π:3x−my+z=1

P∈r: (1+2λ,−1+3λ,−2−λ)π: 3x−my+z=1}⇒3+6λ+m−3mλ−2−λ=1⇒5λ−3mλ=−m⇒(5−3m)λ=−m

5−3m=0⇒m=53

Si m=53⇒λ=0⇒r y π paralelas

Si m≠53⇒r y π secantes

Por tanto, no existe m para que la recta r esteˊ contenida en π

b) Para los valores m del apartado anterior, hallar un plano paralelo a π, que contenga a la recta r. (3 puntos)

Si m=53, r∥π.

Como σ∥π⇒n⃗σ=n⃗π.

π: 3x−53y+z=1

n⃗π=(3,−53,1)

σ: Ax+By+Cz+D=0

n⃗σ=(3,−53,1)⇒σ: 3x−53y+z+D=0

A(1,−1,−2)∈σ⇒3+53−2+D=0⇒D=−83

σ: 3x−53y+z−83=0

⇒σ: 9x−5y+3z−8=0

Figura del ejercicio
Figura del ejercicio

c) Calcular, en funcioˊn de m, la distancia entre π y el punto P=(1,−1,−2). (3 puntos)

π:(1,−1,−2),σ:3x−my+z−1=0

d(P,π)=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2

d(P,π)=∣3⋅1−m⋅(−1)+(−2)−1∣32+m2+12=∣m∣m2+10u

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