Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2025

Se ilumina una placa metálica con luz ultravioleta de frecuencia $\mathrm{8,50}\cdot {10}^{14}$ Hz. El metal tiene una función de trabajo de 3,2 eV.

a) Determina la energía de los fotones incidentes, en eV. [0,625 puntos]

b) Calcula la energía cinética máxima de los electrones emitidos, en eV. [0,625 puntos]

c) Halla la mínima frecuencia que deberían tener los fotones incidentes para arrancar electrones de la placa metálica. [0,625 puntos]

d) Si se aplica un potencial de frenado, ¿cuál es el valor mínimo de dicho potencial de frenado necesario para detener completamente los electrones emitidos? [0,625 puntos]

Datos: constante de Planck: $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$; valor de la carga del electrón: $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}\text{ J}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{fotones}}\mathbf{\text{incidentes,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eV.}}\mathbf{\text{[0,625}}\mathbf{\text{puntos]}}$



Según la hipótesis de Planck, la energía de un fotón depende únicamente de su frecuencia:

$E=hf=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{8,50}\cdot {10}^{14}$

$E=\mathrm{5,64}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Se convierte a electronvoltios dividiendo por la carga del electrón:

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{5,64}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}$

$E=\mathrm{3,52}\text{ eV}$

Cada fotón de la luz ultravioleta transporta $\mathrm{3,52}\text{ eV}$, por encima de los 3,2 eV de la función de trabajo: habrá emisión de electrones.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eV.}}\mathbf{\text{[0,625}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, cada fotón entrega toda su energía a un electrón: una parte se invierte en arrancarlo del metal y el resto queda como energía cinética.

$E=W_0+E_{c,\max }\Rightarrow E_{c,\max }=E-W_0$

$E_{c,\max }=\mathrm{3,52}-\mathrm{3,2}$

$E_{c,\max }=\mathrm{0,32}\text{ eV}$

Los electrones más rápidos salen con $\mathrm{0,32}\text{ eV}$, es decir, $\mathrm{5,2}\cdot {10}^{-20}\text{ J}$. Es poca energía porque la frecuencia de la luz apenas supera la umbral.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Halla}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{fotones}}\mathbf{\text{incidentes}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{arrancar}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{placa}}\mathbf{\text{met}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lica.}}\mathbf{\text{[0,625}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La frecuencia mínima, o frecuencia umbral, es aquella para la que el fotón trae justo la energía necesaria para arrancar el electrón, sin que sobre nada para energía cinética:

$h{f}_0=W_0\Rightarrow f_0={\displaystyle \frac{W_0}{h}}$

Se pasa antes la función de trabajo a julios:

$W_0=\mathrm{3,2}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{5,12}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

$f_0={\displaystyle \frac{\mathrm{5,12}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}}$

$f_0=\mathrm{7,72}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

La frecuencia umbral del metal es $\mathrm{7,72}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$. Por debajo de ella no se emite ningún electrón, por intensa que sea la iluminación.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{aplica}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frenado,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frenado}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{detener}}\mathbf{\text{completamente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{emitidos?}}\mathbf{\text{[0,625}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El potencial de frenado es el que hay que aplicar para detener incluso a los electrones más energéticos: el trabajo eléctrico que realiza sobre ellos consume toda su energía cinética máxima.

$\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }{V}_f=E_{c,\max }\Rightarrow V_f={\displaystyle \frac{E_{c,\max }}{\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,2}\cdot {10}^{-20}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}$

$V_f=\mathrm{0,32}\text{ V}$

Basta con $\mathrm{0,32}\text{ V}$ para que la corriente fotoeléctrica se anule. El valor numérico coincide con la energía cinética máxima expresada en electronvoltios, que es precisamente lo que dice la definición de esa unidad.