Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

La basura espacial dejada por satélites antiguos y sus cohetes lanzadores se está convirtiendo en un peligro para otros satélites. En noviembre de 2023, durante unas tareas de reparación, dos astronautas se dejaron una caja de herramientas en el exterior de la Estación Espacial Internacional (EEI).

a) A partir de la ley de gravitación universal, deduzca la expresión de la velocidad orbital en función del radio orbital. Calcule la velocidad de la caja de herramientas en órbita a 400 km por encima de la superficie terrestre y el número de vueltas que dará la caja cada día alrededor de la Tierra. [1,25 puntos]

b) El fin de la EEI está planificado para el año 2031. De una manera gradual y controlada se le bajará la órbita hasta los 280 km de altura por encima de la superficie terrestre. Calcule la energía mecánica de la EEI en esta órbita y justifique su signo. La última tripulación abandonará la estación y, posteriormente, la estación caerá desde esta altura en medio del océano Pacífico. Calcule con qué energía cinética impactará la estación contra el agua, sin tener en cuenta los efectos de la atmósfera terrestre. [1,25 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra, $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$; masa de la EEI, $M_{EEI}=430\cdot {10}^3\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{gravitaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{universal,}}\mathbf{\text{deduzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{orbital.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{herramientas}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{encima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{terrestre}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vueltas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

En una órbita circular la atracción gravitatoria es la única fuerza y hace de fuerza centrípeta.

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$

La masa del objeto que orbita se cancela en los dos miembros, de modo que la velocidad solo depende del radio de la órbita:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$

$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+\mathrm{4,00}\cdot {10}^5=\mathrm{6,77}\cdot {10}^6\text{ m}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,77}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{7,68}\cdot {10}^3{\text{m s}}^{-1}$

Para contar las vueltas calculamos primero el periodo, que es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia completa:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{6,77}\cdot {10}^6}{\mathrm{7,68}\cdot {10}^3}}=\mathrm{5,54}\cdot {10}^3\text{ s}$

$n={\displaystyle \frac{86400}{\mathrm{5,54}\cdot {10}^3}}=\mathrm{15,6}$

La caja de herramientas orbita a $\mathrm{7,68}\cdot {10}^3$ m/s, casi $28000$ km/h, y da algo más de quince vueltas y media a la Tierra cada día. Esa velocidad es la que la convierte en un peligro para los satélites.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{EEI}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esta}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{justifique}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{signo.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{impactar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{contra}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua,}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{efectos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{atm}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{sfera}}\mathbf{\text{terrestre.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

En una órbita circular la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial, de modo que la energía mecánica queda

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}$

$r=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+\mathrm{2,80}\cdot {10}^5=\mathrm{6,65}\cdot {10}^6\text{ m}$

$E_m=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 430\cdot {10}^3}{2\cdot \mathrm{6,65}\cdot {10}^6}}$

$E_m=-\mathrm{1,29}\cdot {10}^{13}\text{ J}$

El signo negativo indica que la estación está ligada al campo gravitatorio terrestre: haría falta aportarle esa energía para llevarla al infinito con velocidad nula, y mientras no se le aporte no puede escapar.

Sin atmósfera no hay rozamiento, así que la energía mecánica se conserva durante la caída. Igualamos la de la órbita con la del impacto, cuando la estación está en la superficie:

$E_m=E_c^{\mathrm{\prime }}+E_p^{\mathrm{\prime }}=E_c^{\mathrm{\prime }}-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}$

$E_c^{\mathrm{\prime }}=E_m+G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}=-\mathrm{1,2896}\cdot {10}^{13}+{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 430\cdot {10}^3}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}$

$E_c^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{1,2896}\cdot {10}^{13}+\mathrm{2,6925}\cdot {10}^{13}=\mathrm{1,40}\cdot {10}^{13}\text{ J}$

La energía mecánica de la EEI a $280$ km de altura es $-\mathrm{1,29}\cdot {10}^{13}$ J, negativa por tratarse de una órbita ligada, y la estación llegaría al océano con una energía cinética de $\mathrm{1,40}\cdot {10}^{13}$ J. En la realidad la atmósfera disipa buena parte de esa energía y desintegra casi toda la estación antes del impacto.