Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Galicia · 2021

PREGUNTA 4. Desarrolle esta práctica:
En un experimento para medir $h$, al iluminar una superficie metálica con una radiación de longitud de onda $\lambda =200\times {10}^{-9}$ m, el potencial de frenado para los electrones es de 1,00 V. Si $\lambda =175\times {10}^{-9}$ m, el potencial de frenado es de 1,86 V.

a) Determine el trabajo de extracción del metal.
b) Represente el valor absoluto del potencial de frenado frente a la frecuencia y obtenga de dicha representación el valor de la constante de Planck.

DATOS: $\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}$ C; $c=3\times {10}^8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{metal.}}$

El potencial de frenado es el que detiene a los fotoelectrones más rápidos, de modo que el trabajo eléctrico iguala su energía cinética máxima:

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_{\text{frenado}}=E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}$

Sustituyendo en la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_{\text{frenado}}=hf-W$

Para despejar $W$ hace falta conocer $h$, así que empezamos por obtenerla, aunque el enunciado la pida en el apartado siguiente. Calculamos las frecuencias de las dos radiaciones:

$f_1={\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_1}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{200\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{1,50}\cdot {10}^{15}\text{ Hz}$

$f_2={\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_2}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{175\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{1,71}\cdot {10}^{15}\text{ Hz}$

El trabajo de extracción es el mismo en las dos experiencias, porque el metal no cambia. Escribimos una ecuación para cada radiación y las restamos, con lo que $W$ desaparece:

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_1=h{f}_1-W$

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_2=h{f}_2-W$

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }(V_2-V_1)=h(f_2-f_1)\Rightarrow h={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }(V_2-V_1)}{f_2-f_1}}$

$h={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}(\mathrm{1,86}-\mathrm{1,00})}{\mathrm{1,71}\cdot {10}^{15}-\mathrm{1,50}\cdot {10}^{15}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,376}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{2,14}\cdot {10}^{14}}}$

$h=\mathrm{6,42}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$

Con este valor, de la primera experiencia:

$W=h{f}_1-\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_1=\mathrm{6,42}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{1,50}\cdot {10}^{15}-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{1,00}$

$W=\mathrm{9,63}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{8,03}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

$W={\displaystyle \frac{\mathrm{8,03}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{5,02}\text{ eV}$

El trabajo de extracción del metal es $\mathrm{8,03}\cdot {10}^{-19}\text{ J}=\mathrm{5,02}\text{ eV}$. Se comprueba con la segunda experiencia, que da el mismo valor, lo que confirma la coherencia de los datos. La frecuencia umbral correspondiente es:

$f_0={\displaystyle \frac{W}{h}}={\displaystyle \frac{\mathrm{8,03}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,42}\cdot {10}^{-34}}}=\mathrm{1,25}\cdot {10}^{15}\text{ Hz}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{absoluto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frenado}}\mathbf{\text{frente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Planck.}}$

Despejamos el potencial de frenado de la ecuación anterior:

$\mathrm{\mid }{V}_{\text{frenado}}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{h}{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }}}f-{\displaystyle \frac{W}{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }}}$

Es la ecuación de una recta $y=mx+n$ con:

$m={\displaystyle \frac{h}{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }}}n=-{\displaystyle \frac{W}{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }}}$

La pendiente es el cociente entre la constante de Planck y la carga del electrón, y el corte con el eje horizontal es la frecuencia umbral, porque ahí el potencial de frenado se anula.



Con los dos puntos experimentales calculamos la pendiente:

$m={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\mid }{V}_{\text{frenado}}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\Delta }f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,86}-\mathrm{1,00}}{\mathrm{1,71}\cdot {10}^{15}-\mathrm{1,50}\cdot {10}^{15}}}=\mathrm{4,01}\cdot {10}^{-15}{\displaystyle \frac{\text{V}}{\text{Hz}}}$

Y de ella la constante de Planck:

$h=m\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }=\mathrm{4,01}\cdot {10}^{-15}\cdot \mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}$

$h=\mathrm{6,42}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$

El valor obtenido de la gráfica es $\mathrm{6,42}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$, que se aparta un 3 % del aceptado, $\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$: es un error razonable para una medida basada en solo dos puntos, en la que un error de una centésima de voltio en el potencial de frenado se traslada íntegro a la pendiente.